График функции y = (3*x-x^2)/(x^2-3*x+4)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
                2  
         3*x - x   
f(x) = ------------
        2          
       x  - 3*x + 4
$$f{\left (x \right )} = \frac{- x^{2} + 3 x}{x^{2} - 3 x + 4}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{- x^{2} + 3 x}{x^{2} - 3 x + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (3*x - x^2)/(x^2 - 3*x + 4).
$$\frac{0 \cdot 3 - 0}{0^{2} - 0 + 4}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\left(- 2 x + 3\right) \left(- x^{2} + 3 x\right)}{\left(x^{2} - 3 x + 4\right)^{2}} + \frac{- 2 x + 3}{x^{2} - 3 x + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(3/2, 9/7)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Убывает на промежутках
(-oo, 3/2]

Возрастает на промежутках
[3/2, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{2} - 3 x + 4} \left(- \frac{2 x \left(x - 3\right) \left(2 x - 3\right)^{2}}{\left(x^{2} - 3 x + 4\right)^{2}} + \frac{2 x \left(x - 3\right)}{x^{2} - 3 x + 4} + \frac{2 \left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 4} - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{21}}{6} + \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{6} + \frac{3}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -sqrt(21)/6 + 3/2] U [sqrt(21)/6 + 3/2, oo)

Выпуклая на промежутках
[-sqrt(21)/6 + 3/2, sqrt(21)/6 + 3/2]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + 3 x}{x^{2} - 3 x + 4}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 3 x}{x^{2} - 3 x + 4}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = -1$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (3*x - x^2)/(x^2 - 3*x + 4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + 3 x}{x \left(x^{2} - 3 x + 4\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 3 x}{x \left(x^{2} - 3 x + 4\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{- x^{2} + 3 x}{x^{2} - 3 x + 4} = \frac{- x^{2} - 3 x}{x^{2} + 3 x + 4}$$
- Нет
$$\frac{- x^{2} + 3 x}{x^{2} - 3 x + 4} = - \frac{- x^{2} - 3 x}{x^{2} + 3 x + 4}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной