График функции y = 1/4*x^4-2*x^3+(5/2)*x^2+9

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        4             2    
       x       3   5*x     
f(x) = -- - 2*x  + ---- + 9
       4            2      
$$f{\left (x \right )} = \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} - 2 x^{3} + 9$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} - 2 x^{3} + 9 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{2} \sqrt{- 2 \sqrt[3]{2 \sqrt{1157} + \frac{2393}{27}} - \frac{266}{9 \sqrt[3]{2 \sqrt{1157} + \frac{2393}{27}}} + \frac{48}{\sqrt{\frac{266}{9 \sqrt[3]{2 \sqrt{1157} + \frac{2393}{27}}} + \frac{28}{3} + 2 \sqrt[3]{2 \sqrt{1157} + \frac{2393}{27}}}} + \frac{56}{3}} + 2 + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{266}{9 \sqrt[3]{2 \sqrt{1157} + \frac{2393}{27}}} + \frac{28}{3} + 2 \sqrt[3]{2 \sqrt{1157} + \frac{2393}{27}}}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} \sqrt{- 2 \sqrt[3]{2 \sqrt{1157} + \frac{2393}{27}} - \frac{266}{9 \sqrt[3]{2 \sqrt{1157} + \frac{2393}{27}}} + \frac{48}{\sqrt{\frac{266}{9 \sqrt[3]{2 \sqrt{1157} + \frac{2393}{27}}} + \frac{28}{3} + 2 \sqrt[3]{2 \sqrt{1157} + \frac{2393}{27}}}} + \frac{56}{3}} + 2 + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{266}{9 \sqrt[3]{2 \sqrt{1157} + \frac{2393}{27}}} + \frac{28}{3} + 2 \sqrt[3]{2 \sqrt{1157} + \frac{2393}{27}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 6.25377750033$$
$$x_{2} = 2.80562048198$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^4/4 - 2*x^3 + 5*x^2/2 + 9.
$$\frac{0^{4}}{4} - 0 + \frac{0}{2} + 9$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 9$$
Точка:
(0, 9)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{3} - 6 x^{2} + 5 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 5$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 9)

(1, 39/4)

(5, -89/4)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = 0$$
$$x_{3} = 5$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = 1$$
Убывает на промежутках
[0, 1] U [5, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 0] U [1, 5]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$3 x^{2} - 12 x + 5 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{21}}{3} + 2$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{3} + 2$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -sqrt(21)/3 + 2] U [sqrt(21)/3 + 2, oo)

Выпуклая на промежутках
[-sqrt(21)/3 + 2, sqrt(21)/3 + 2]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} - 2 x^{3} + 9\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} - 2 x^{3} + 9\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4/4 - 2*x^3 + 5*x^2/2 + 9, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} - 2 x^{3} + 9\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} - 2 x^{3} + 9\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} - 2 x^{3} + 9 = \frac{x^{4}}{4} + 2 x^{3} + \frac{5 x^{2}}{2} + 9$$
- Нет
$$\frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} - 2 x^{3} + 9 = - \frac{x^{4}}{4} - 2 x^{3} - \frac{5 x^{2}}{2} - 9$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной