График функции y = (1/9)*x*(x-4)^2

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
       x        2
f(x) = -*(x - 4) 
       9         
$$f{\left (x \right )} = \frac{x}{9} \left(x - 4\right)^{2}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{9} \left(x - 4\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x/9)*(x - 4)^2.
$$\left(-4\right)^{2} \frac{0}{9}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{x}{9} \left(2 x - 8\right) + \frac{1}{9} \left(x - 4\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
$$x_{2} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:
      256 
(4/3, ---)
      243 

(4, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{4}{3}$$
Убывает на промежутках
(-oo, 4/3] U [4, oo)

Возрастает на промежутках
[4/3, 4]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{9} \left(6 x - 16\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{8}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[8/3, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 8/3]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{9} \left(x - 4\right)^{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{9} \left(x - 4\right)^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{9} \left(x - 4\right)^{2} = - \frac{x}{9} \left(- x - 4\right)^{2}$$
- Нет
$$\frac{x}{9} \left(x - 4\right)^{2} = - \frac{1}{9} \left(-1 x \left(- x - 4\right)^{2}\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной