График функции y = (x^3)*e^(2-x)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        3  2 - x
f(x) = x *E     
$$f{\left (x \right )} = e^{- x + 2} x^{3}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$e^{- x + 2} x^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 119.781589344$$
$$x_{2} = 121.770377514$$
$$x_{3} = 50.9886343394$$
$$x_{4} = 113.817945104$$
$$x_{5} = 54.8012720585$$
$$x_{6} = 103.889443728$$
$$x_{7} = 84.0947578295$$
$$x_{8} = 76.2147268831$$
$$x_{9} = 56.7215653755$$
$$x_{10} = 47.2258221026$$
$$x_{11} = 60.5837288924$$
$$x_{12} = 90.0216356012$$
$$x_{13} = 74.2498293548$$
$$x_{14} = 105.87388524$$
$$x_{15} = 45.3699033599$$
$$x_{16} = 97.9406256913$$
$$x_{17} = 82.1220528474$$
$$x_{18} = 72.2874103792$$
$$x_{19} = 43.5363647645$$
$$x_{20} = 107.858996843$$
$$x_{21} = 91.999801121$$
$$x_{22} = 99.9227607636$$
$$x_{23} = 80.1510345473$$
$$x_{24} = 52.8897741766$$
$$x_{25} = 64.4686693422$$
$$x_{26} = 115.805346155$$
$$x_{27} = 68.3711434889$$
$$x_{28} = 111.831064115$$
$$x_{29} = 66.4179766096$$
$$x_{30} = 70.3277433164$$
$$x_{31} = 88.04466993$$
$$x_{32} = 62.5237226566$$
$$x_{33} = 93.9790749416$$
$$x_{34} = 109.844736108$$
$$x_{35} = 41.7310513737$$
$$x_{36} = 86.0690060516$$
$$x_{37} = 58.6493938015$$
$$x_{38} = 78.1818647828$$
$$x_{39} = 0$$
$$x_{40} = 95.9593746157$$
$$x_{41} = 117.793236913$$
$$x_{42} = 49.0998156927$$
$$x_{43} = 101.905718658$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3*E^(2 - x).
$$0^{3} e^{- 0 + 2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- x^{3} e^{- x + 2} + 3 x^{2} e^{- x + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

        -1 
(3, 27*e  )


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 3$$
Убывает на промежутках
(-oo, 3]

Возрастает на промежутках
[3, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$x \left(x^{2} - 6 x + 6\right) e^{- x + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{3} + 3$$
$$x_{3} = \sqrt{3} + 3$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[0, -sqrt(3) + 3] U [sqrt(3) + 3, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 0] U [-sqrt(3) + 3, sqrt(3) + 3]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- x + 2} x^{3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{- x + 2} x^{3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3*E^(2 - x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} e^{- x + 2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} e^{- x + 2}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$e^{- x + 2} x^{3} = - x^{3} e^{x + 2}$$
- Нет
$$e^{- x + 2} x^{3} = - -1 x^{3} e^{x + 2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной