График функции y = -32/(x^2+8*x+16)

Вы ввели

            -32     
f(x) = -------------
        2           
       x  + 8*x + 16

$$f{\left (x \right )} = - \frac{32}{x^{2} + 8 x + 16}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -4$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \frac{32}{x^{2} + 8 x + 16} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -32/(x^2 + 8*x + 16).
$$- \frac{32}{0^{2} + 0 \cdot 8 + 16}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -2$$
Точка:

(0, -2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{- 64 x - 256}{\left(x^{2} + 8 x + 16\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{- \frac{256 \left(x + 4\right)^{2}}{x^{2} + 8 x + 16} + 64}{\left(x^{2} + 8 x + 16\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -4$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{32}{x^{2} + 8 x + 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{32}{x^{2} + 8 x + 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -32/(x^2 + 8*x + 16), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{32}{x \left(x^{2} + 8 x + 16\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{32}{x \left(x^{2} + 8 x + 16\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \frac{32}{x^{2} + 8 x + 16} = - \frac{32}{x^{2} - 8 x + 16}$$
- Нет
$$- \frac{32}{x^{2} + 8 x + 16} = - \frac{-32}{x^{2} - 8 x + 16}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной