График y = f(x) = 1/2*cos(x/3) (1 делить на 2 умножить на косинус от (х делить на 3)) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = 1/2*cos(x/3)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          /x\
       cos|-|
          \3/
f(x) = ------
         2   
$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{9 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 61.261056745$$
$$x_{2} = -70.6858347058$$
$$x_{3} = -89.5353906273$$
$$x_{4} = -4.71238898038$$
$$x_{5} = -32.9867228627$$
$$x_{6} = -80.1106126665$$
$$x_{7} = -42.4115008235$$
$$x_{8} = 155.508836353$$
$$x_{9} = 32.9867228627$$
$$x_{10} = -14.1371669412$$
$$x_{11} = 80.1106126665$$
$$x_{12} = 4.71238898038$$
$$x_{13} = -5075.24293187$$
$$x_{14} = 51.8362787842$$
$$x_{15} = 14.1371669412$$
$$x_{16} = -98.9601685881$$
$$x_{17} = 98.9601685881$$
$$x_{18} = -51.8362787842$$
$$x_{19} = -61.261056745$$
$$x_{20} = 89.5353906273$$
$$x_{21} = -23.5619449019$$
$$x_{22} = 70.6858347058$$
$$x_{23} = 42.4115008235$$
$$x_{24} = 23.5619449019$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x/3)/2.
$$\frac{1}{2} \cos{\left (\frac{0}{3} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{1}{2}$$
Точка:
(0, 1/2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{1}{6} \sin{\left (\frac{x}{3} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1/2)

(3*pi, -1/2)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 3 \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
(-oo, 0] U [3*pi, oo)

Возрастает на промежутках
[0, 3*pi]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{1}{18} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{9 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[3*pi/2, 9*pi/2]

Выпуклая на промежутках
(-oo, 3*pi/2] U [9*pi/2, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}\right) = \langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}\right) = \langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x/3)/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left (\frac{x}{3} \right )}}{2 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left (\frac{x}{3} \right )}}{2 x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$$
- Нет
$$\frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )} = - \frac{1}{2} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: