График функции y = -1/2*sin(3*x-2*(157/50)/3)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
           /      /2*157\\ 
           |      |-----|| 
           |      \  50 /| 
       -sin|3*x - -------| 
           \         3   / 
f(x) = --------------------
                2          
$$f{\left (x \right )} = - \frac{1}{2} \sin{\left (3 x - \frac{157}{75} \right )}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \frac{1}{2} \sin{\left (3 x - \frac{157}{75} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{157}{225}$$
$$x_{2} = \frac{157}{225} + \frac{\pi}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -73.6532483572$$
$$x_{2} = 44.680074928$$
$$x_{3} = 3.83937043137$$
$$x_{4} = 65.624025952$$
$$x_{5} = 93.8983598343$$
$$x_{6} = 76.0960014639$$
$$x_{7} = -53.7564948844$$
$$x_{8} = -29.6709512069$$
$$x_{9} = 47.8216675816$$
$$x_{10} = 40.4912847232$$
$$x_{11} = 60.388038196$$
$$x_{12} = -27.5765561045$$
$$x_{13} = -77.842038562$$
$$x_{14} = 58.2936430936$$
$$x_{15} = -55.8508899868$$
$$x_{16} = -57.9452850892$$
$$x_{17} = -63.1812728452$$
$$x_{18} = -91.4556067275$$
$$x_{19} = 18.5001361481$$
$$x_{20} = -7.6798026318$$
$$x_{21} = 98.0871500391$$
$$x_{22} = -22.3405683485$$
$$x_{23} = -35.9541365141$$
$$x_{24} = 100.181545141$$
$$x_{25} = 16.4057410457$$
$$x_{26} = 71.9072112591$$
$$x_{27} = 45.7272724792$$
$$x_{28} = -18.1517781438$$
$$x_{29} = 41.5384822744$$
$$x_{30} = 9.07535818735$$
$$x_{31} = -31.7653463093$$
$$x_{32} = -62.134075294$$
$$x_{33} = -13.962987939$$
$$x_{34} = -95.6443969323$$
$$x_{35} = -71.5588532548$$
$$x_{36} = 34.2080994161$$
$$x_{37} = 74.0016063615$$
$$x_{38} = 89.7095696295$$
$$x_{39} = 95.9927549367$$
$$x_{40} = -33.8597414117$$
$$x_{41} = 23.7361239041$$
$$x_{42} = 78.1903965663$$
$$x_{43} = 62.4824332984$$
$$x_{44} = 5.93376553376$$
$$x_{45} = -64.2284703964$$
$$x_{46} = -9.77419773419$$
$$x_{47} = 32.1137043137$$
$$x_{48} = -38.0485316165$$
$$x_{49} = 91.8039647319$$
$$x_{50} = -82.0308287668$$
$$x_{51} = 19.5473336993$$
$$x_{52} = -49.5677046797$$
$$x_{53} = -20.2461732462$$
$$x_{54} = -40.1429267189$$
$$x_{55} = -75.7476434596$$
$$x_{56} = 1.74497532897$$
$$x_{57} = 25.8305190065$$
$$x_{58} = 80.2847916687$$
$$x_{59} = 36.3024945185$$
$$x_{60} = -84.1252238691$$
$$x_{61} = 87.6151745271$$
$$x_{62} = -45.3789144749$$
$$x_{63} = -11.8685928366$$
$$x_{64} = -5.5854075294$$
$$x_{65} = -3.49101242701$$
$$x_{66} = 67.7184210544$$
$$x_{67} = 27.9249141089$$
$$x_{68} = 56.1992479912$$
$$x_{69} = -67.37006305$$
$$x_{70} = -16.0573830414$$
$$x_{71} = 82.3791867711$$
$$x_{72} = -60.0396801916$$
$$x_{73} = -69.4644581524$$
$$x_{74} = 12.2169508409$$
$$x_{75} = -79.9364336644$$
$$x_{76} = -25.4821610021$$
$$x_{77} = 52.0104577864$$
$$x_{78} = 10.1225557385$$
$$x_{79} = 79.2375941175$$
$$x_{80} = 8.02816063615$$
$$x_{81} = -86.2196189715$$
$$x_{82} = -93.5500018299$$
$$x_{83} = -47.4733095773$$
$$x_{84} = -97.7387920347$$
$$x_{85} = 14.3113459433$$
$$x_{86} = 49.916062684$$
$$x_{87} = 61.4352357472$$
$$x_{88} = 54.1048528888$$
$$x_{89} = -99.8331871371$$
$$x_{90} = 84.4735818735$$
$$x_{91} = 38.3968896209$$
$$x_{92} = -51.6620997821$$
$$x_{93} = -42.2373218213$$
$$x_{94} = 69.8128161568$$
$$x_{95} = 30.0193092113$$
$$x_{96} = -571.072085176$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -sin(3*x - 2*157/50/3)/2.
$$- \frac{1}{2} \sin{\left (- \frac{157}{75} + 0 \cdot 3 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{1}{2} \sin{\left (\frac{157}{75} \right )}$$
Точка:
(0, sin(157/75)/2)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{3}{2} \cos{\left (3 x - \frac{157}{75} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{157}{225} + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{157}{225}$$
Зн. экстремумы в точках:
              /      /2*157\\ 
              |      |-----|| 
              |157   \  50 /| 
           cos|--- - -------| 
 157   pi     \ 75      3   / 
(--- + --, ------------------)
 225   2           2          

               /      /2*157\\  
               |      |-----||  
               |157   \  50 /|  
           -cos|--- - -------|  
 157   pi      \ 75      3   /  
(--- + --, --------------------)
 225   6            2           


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{157}{225}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{157}{225} + \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
[pi/6 + 157/225, 157/225 + pi/2]

Возрастает на промежутках
(-oo, pi/6 + 157/225] U [157/225 + pi/2, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{9}{2} \sin{\left (3 x - \frac{157}{75} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{157}{225}$$
$$x_{2} = \frac{157}{225} + \frac{\pi}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[157/225, 157/225 + pi/3]

Выпуклая на промежутках
(-oo, 157/225] U [157/225 + pi/3, oo)
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{2} \sin{\left (3 x - \frac{157}{75} \right )}\right) = \langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{2} \sin{\left (3 x - \frac{157}{75} \right )}\right) = \langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -sin(3*x - 2*157/50/3)/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{2 x} \sin{\left (3 x - \frac{157}{75} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{2 x} \sin{\left (3 x - \frac{157}{75} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \frac{1}{2} \sin{\left (3 x - \frac{157}{75} \right )} = \frac{1}{2} \sin{\left (3 x + \frac{157}{75} \right )}$$
- Нет
$$- \frac{1}{2} \sin{\left (3 x - \frac{157}{75} \right )} = - \frac{1}{2} \sin{\left (3 x + \frac{157}{75} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной