График функции y = 2*x^3/(x^2-4)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
           3 
        2*x  
f(x) = ------
        2    
       x  - 4
$$f{\left (x \right )} = \frac{2 x^{3}}{x^{2} - 4}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x^{3}}{x^{2} - 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2*x^3)/(x^2 - 4).
$$\frac{2 \cdot 0^{3}}{-4 + 0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 2 \sqrt{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

      ___       ___ 
(-2*\/ 3, -6*\/ 3 )

     ___      ___ 
(2*\/ 3, 6*\/ 3 )


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = 2 \sqrt{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = - 2 \sqrt{3}$$
Убывает на промежутках
(-oo, -2*sqrt(3)] U [2*sqrt(3), oo)

Возрастает на промежутках
[-2*sqrt(3), 2*sqrt(3)]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{4 x}{x^{2} - 4} \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} - \frac{7 x^{2}}{x^{2} - 4} + 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$

$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{4 x}{x^{2} - 4} \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} - \frac{7 x^{2}}{x^{2} - 4} + 3\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{4 x}{x^{2} - 4} \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} - \frac{7 x^{2}}{x^{2} - 4} + 3\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -2$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{4 x}{x^{2} - 4} \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} - \frac{7 x^{2}}{x^{2} - 4} + 3\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{4 x}{x^{2} - 4} \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} - \frac{7 x^{2}}{x^{2} - 4} + 3\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 2$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 0]

Выпуклая на промежутках
[0, oo)
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{3}}{x^{2} - 4}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3}}{x^{2} - 4}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x^3)/(x^2 - 4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 4}\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 4}\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = 2 x$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x^{3}}{x^{2} - 4} = - \frac{2 x^{3}}{x^{2} - 4}$$
- Нет
$$\frac{2 x^{3}}{x^{2} - 4} = - \frac{-1 \cdot 2 x^{3}}{x^{2} - 4}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной