График функции y = cos(3*x)^(2)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
          2     
f(x) = cos (3*x)
$$f{\left (x \right )} = \cos^{2}{\left (3 x \right )}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos^{2}{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -9.94837684644$$
$$x_{2} = -93.7241808499$$
$$x_{3} = 31.9395253611$$
$$x_{4} = -49.7418836877$$
$$x_{5} = -89.5353906915$$
$$x_{6} = -7.85398152418$$
$$x_{7} = 56.0250689512$$
$$x_{8} = 7.8539817103$$
$$x_{9} = 16.2315620581$$
$$x_{10} = -3.66519147865$$
$$x_{11} = 93.7241808066$$
$$x_{12} = 73.8274274358$$
$$x_{13} = -82.2050076994$$
$$x_{14} = 62.3082542595$$
$$x_{15} = -95.818575869$$
$$x_{16} = 95.8185760099$$
$$x_{17} = -100.007366131$$
$$x_{18} = 29.8451302859$$
$$x_{19} = 82.2050078078$$
$$x_{20} = -51.8362786947$$
$$x_{21} = -96.8657733417$$
$$x_{22} = 78.0162175417$$
$$x_{23} = 4.7123890163$$
$$x_{24} = 38.2227106408$$
$$x_{25} = -29.845130107$$
$$x_{26} = 219.387886625$$
$$x_{27} = -45.5530935468$$
$$x_{28} = -25.6563400575$$
$$x_{29} = 71.7330322579$$
$$x_{30} = -62.3082544994$$
$$x_{31} = -218.34068971$$
$$x_{32} = 27.7507351417$$
$$x_{33} = 88.488193028$$
$$x_{34} = -84.2994030191$$
$$x_{35} = -38.2227105579$$
$$x_{36} = -12.0427718$$
$$x_{37} = 44.5058959014$$
$$x_{38} = 5.75958657756$$
$$x_{39} = 38.2227104062$$
$$x_{40} = 49.7418837023$$
$$x_{41} = -14.1371668658$$
$$x_{42} = -91.6297857923$$
$$x_{43} = 75.9218225202$$
$$x_{44} = 53.9306739409$$
$$x_{45} = 51.8362788611$$
$$x_{46} = 34.0339203573$$
$$x_{47} = 84.2994028394$$
$$x_{48} = -47.6474886361$$
$$x_{49} = -67.5442421197$$
$$x_{50} = -96.8657735623$$
$$x_{51} = -56.0250689638$$
$$x_{52} = 97.9129710991$$
$$x_{53} = 18.3259571005$$
$$x_{54} = -65.4498467952$$
$$x_{55} = -58.1194640192$$
$$x_{56} = 100.00736613$$
$$x_{57} = 66.497044463$$
$$x_{58} = 60.213859224$$
$$x_{59} = -43.4586982782$$
$$x_{60} = 22.5147473444$$
$$x_{61} = -80.1106125965$$
$$x_{62} = -1.57079639847$$
$$x_{63} = 20.4203521767$$
$$x_{64} = 64.4026493286$$
$$x_{65} = -27.7507351062$$
$$x_{66} = -23.561944973$$
$$x_{67} = -36.1283154423$$
$$x_{68} = -73.8274272823$$
$$x_{69} = -78.0162175468$$
$$x_{70} = -34.0339203815$$
$$x_{71} = -87.4409953189$$
$$x_{72} = -53.9306740746$$
$$x_{73} = -40.3171057809$$
$$x_{74} = -21.4675497482$$
$$x_{75} = -71.733032269$$
$$x_{76} = 14.1371669874$$
$$x_{77} = 0.523598793698$$
$$x_{78} = 12.0427717588$$
$$x_{79} = -31.9395254607$$
$$x_{80} = -69.6386372143$$
$$x_{81} = 9.94837678085$$
$$x_{82} = 40.3171056799$$
$$x_{83} = 42.4115007524$$
$$x_{84} = -60.2138591281$$
$$x_{85} = -16.2315619892$$
$$x_{86} = 86.3937979052$$
$$x_{87} = -5.75958652425$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(3*x)^2.
$$\cos^{2}{\left (0 \cdot 3 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 6 \sin{\left (3 x \right )} \cos{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)

 pi    
(--, 0)
 6     

 pi    
(--, 1)
 3     

 pi    
(--, 0)
 2     


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = 0$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{3}$$
Убывает на промежутках
[pi/2, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, pi/6] U [pi/3, pi/2]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$18 \left(\sin^{2}{\left (3 x \right )} - \cos^{2}{\left (3 x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{12}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-pi/4, -pi/12] U [pi/12, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -pi/4]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos^{2}{\left (3 x \right )} = \langle 0, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle 0, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos^{2}{\left (3 x \right )} = \langle 0, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle 0, 1\rangle$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(3*x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos^{2}{\left (3 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos^{2}{\left (3 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos^{2}{\left (3 x \right )} = \cos^{2}{\left (3 x \right )}$$
- Да
$$\cos^{2}{\left (3 x \right )} = - \cos^{2}{\left (3 x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной