График функции y = 1/(cos(x)^2)

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
          1   
f(x) = -------
          2   
       cos (x)
$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$$
График функции
Область определения функции
[TeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/(cos(x)^2).
$$\frac{1}{\cos^{2}{\left (0 \right )}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 \sin{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)

(pi, 1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[pi, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 0]
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[TeX]
Есть:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} = \langle 0, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle 0, \infty\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} = \langle 0, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle 0, \infty\rangle$$
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/(cos(x)^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \cos^{2}{\left (x \right )}}\right)$$
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \cos^{2}{\left (x \right )}}\right)$$
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$$
- Да
$$\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} = - \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной