График функции y = (x^(1/2)-1)^3

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
                  3
       /  ___    \ 
f(x) = \\/ x  - 1/ 
$$f{\left (x \right )} = \left(\sqrt{x} - 1\right)^{3}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(\sqrt{x} - 1\right)^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.00016612828$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (sqrt(x) - 1)^3.
$$\left(-1 + \sqrt{0}\right)^{3}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -1$$
Точка:
(0, -1)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{3 \left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}{2 \sqrt{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
(1, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{3}{4} \left(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \left(\sqrt{x} - 1\right)\right) \left(\sqrt{x} - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[1, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 1]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{x} - 1\right)^{3} = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = - \infty i$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x} - 1\right)^{3} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (sqrt(x) - 1)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sqrt{x} - 1\right)^{3}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \infty i x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sqrt{x} - 1\right)^{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(\sqrt{x} - 1\right)^{3} = \left(\sqrt{- x} - 1\right)^{3}$$
- Нет
$$\left(\sqrt{x} - 1\right)^{3} = - \left(\sqrt{- x} - 1\right)^{3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной