График функции y = ((|x|))*(x-1)-5*x

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
f(x) = |x|*(x - 1) - 5*x
$$f{\left (x \right )} = - 5 x + \left(x - 1\right) \left|{x}\right|$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 5 x + \left(x - 1\right) \left|{x}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 6$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 6$$
$$x_{3} = -4$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x|*(x - 1) - 5*x.
$$-1 \left|{0}\right| - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(x - 1\right) \operatorname{sign}{\left (x \right )} + \left|{x}\right| - 5 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:
(-2, 4)

(3, -9)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 3$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -2$$
Убывает на промежутках
(-oo, -2] U [3, oo)

Возрастает на промежутках
[-2, 3]
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 5 x + \left(x - 1\right) \left|{x}\right|\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 5 x + \left(x - 1\right) \left|{x}\right|\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x|*(x - 1) - 5*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 5 x + \left(x - 1\right) \left|{x}\right|\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 5 x + \left(x - 1\right) \left|{x}\right|\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 5 x + \left(x - 1\right) \left|{x}\right| = 5 x + \left(- x - 1\right) \left|{x}\right|$$
- Нет
$$- 5 x + \left(x - 1\right) \left|{x}\right| = - 5 x - \left(- x - 1\right) \left|{x}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной