График функции y = 1-cbrt((x-1)^2)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

              __________
           3 /        2 
f(x) = 1 - \/  (x - 1)  

$$f{\left (x \right )} = - \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}} + 1$$

Точки пересечения с осью координат X

[TeX]

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

[TeX]

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1 - ((x - 1)^2)^(1/3).
$$- 1 + 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

[TeX]

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{\left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(\frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

[TeX]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}} + 1\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}} + 1\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

[TeX]

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1 - ((x - 1)^2)^(1/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

[TeX]

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}} + 1 = - \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}} + 1$$
- Нет
$$- \left|{x - 1}\right|^{\frac{2}{3}} + 1 = - -1 \left|{x + 1}\right|^{\frac{2}{3}} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной