График y = f(x) = sqrt(1-sin(2*x)) (квадратный корень из (1 минус синус от (2 умножить на х))) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = sqrt(1-sin(2*x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
         ______________
f(x) = \/ 1 - sin(2*x) 
$$f{\left (x \right )} = \sqrt{- \sin{\left (2 x \right )} + 1}$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{- \sin{\left (2 x \right )} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 73.042029196$$
$$x_{2} = -77.7544181763$$
$$x_{3} = -33.7721210261$$
$$x_{4} = -8.63937979737$$
$$x_{5} = 82.4668071567$$
$$x_{6} = 10.2101761242$$
$$x_{7} = 0.785398163397$$
$$x_{8} = 85.6083998103$$
$$x_{9} = 22.7765467385$$
$$x_{10} = 32.2013246993$$
$$x_{11} = -93.4623814443$$
$$x_{12} = 25.9181393921$$
$$x_{13} = -5.49778714378$$
$$x_{14} = 57.334065928$$
$$x_{15} = -43.1968989869$$
$$x_{16} = 76.1836218496$$
$$x_{17} = -27.4889357189$$
$$x_{18} = -932.267619953$$
$$x_{19} = -24.3473430653$$
$$x_{20} = -99.7455667515$$
$$x_{21} = -71.4712328692$$
$$x_{22} = -2.35619449019$$
$$x_{23} = -74.6128255228$$
$$x_{24} = 88.7499924639$$
$$x_{25} = 3.92699081699$$
$$x_{26} = -55.7632696012$$
$$x_{27} = 60.4756585816$$
$$x_{28} = 35.3429173529$$
$$x_{29} = 79.3252145031$$
$$x_{30} = 16.4933614313$$
$$x_{31} = 95.0331777711$$
$$x_{32} = -46.3384916404$$
$$x_{33} = 66.7588438888$$
$$x_{34} = 47.9092879672$$
$$x_{35} = 69.9004365424$$
$$x_{36} = -40.0553063333$$
$$x_{37} = 13.3517687778$$
$$x_{38} = 98.1747704247$$
$$x_{39} = 41.6261026601$$
$$x_{40} = 63.6172512352$$
$$x_{41} = 19.6349540849$$
$$x_{42} = 38.4845100065$$
$$x_{43} = -96.6039740979$$
$$x_{44} = -18.0641577581$$
$$x_{45} = -21.2057504117$$
$$x_{46} = -62.0464549084$$
$$x_{47} = -49.480084294$$
$$x_{48} = -84.0376034835$$
$$x_{49} = -52.6216769476$$
$$x_{50} = -68.3296402156$$
$$x_{51} = 44.7676953137$$
$$x_{52} = -87.1791961371$$
$$x_{53} = 91.8915851175$$
$$x_{54} = -11.780972451$$
$$x_{55} = -90.3207887907$$
$$x_{56} = 54.1924732744$$
$$x_{57} = -30.6305283725$$
$$x_{58} = -65.188047562$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(1 - sin(2*x)).
$$\sqrt{- \sin{\left (0 \cdot 2 \right )} + 1}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{\cos{\left (2 x \right )}}{\sqrt{- \sin{\left (2 x \right )} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
 3*pi    ___ 
(----, \/ 2 )
  4          


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
Убывает на промежутках
(-oo, 3*pi/4]

Возрастает на промежутках
[3*pi/4, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{\sqrt{- \sin{\left (2 x \right )} + 1}} \left(2 \sin{\left (2 x \right )} - \frac{\cos^{2}{\left (2 x \right )}}{- \sin{\left (2 x \right )} + 1}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{- \sin{\left (2 x \right )} + 1} = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{- \sin{\left (2 x \right )} + 1} = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -\infty, \infty\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(1 - sin(2*x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt{- \sin{\left (2 x \right )} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt{- \sin{\left (2 x \right )} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{- \sin{\left (2 x \right )} + 1} = \sqrt{\sin{\left (2 x \right )} + 1}$$
- Нет
$$\sqrt{- \sin{\left (2 x \right )} + 1} = - \sqrt{\sin{\left (2 x \right )} + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: