График y = f(x) = 2*x^3+12*x^2+18*x (2 умножить на х в кубе плюс 12 умножить на х в квадрате плюс 18 умножить на х) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = 2*x^3+12*x^2+18*x

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          3       2       
f(x) = 2*x  + 12*x  + 18*x
$$f{\left (x \right )} = 18 x + 2 x^{3} + 12 x^{2}$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$18 x + 2 x^{3} + 12 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -3$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x^3 + 12*x^2 + 18*x.
$$2 \cdot 0^{3} + 12 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 18$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$6 x^{2} + 24 x + 18 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -1$$
Зн. экстремумы в точках:
(-3, 0)

(-1, -8)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -3$$
Убывает на промежутках
(-oo, -3] U [-1, oo)

Возрастает на промежутках
[-3, -1]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$12 \left(x + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-2, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -2]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(18 x + 2 x^{3} + 12 x^{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(18 x + 2 x^{3} + 12 x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x^3 + 12*x^2 + 18*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(18 x + 2 x^{3} + 12 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(18 x + 2 x^{3} + 12 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$18 x + 2 x^{3} + 12 x^{2} = - 2 x^{3} + 12 x^{2} - 18 x$$
- Нет
$$18 x + 2 x^{3} + 12 x^{2} = - -1 \cdot 2 x^{3} - 12 x^{2} - - 18 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: