График функции y = log(exp(1)+1/x)

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
          / 1   1\
f(x) = log|e  + -|
          \     x/
$$f{\left (x \right )} = \log{\left (e^{1} + \frac{1}{x} \right )}$$
График функции
Область определения функции
[TeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left (e^{1} + \frac{1}{x} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{- e + 1}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.581976706869326$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(exp(1) + 1/x).
$$\log{\left (\frac{1}{0} + e^{1} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{1}{x^{2} \left(e^{1} + \frac{1}{x}\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{2 - \frac{1}{x \left(e + \frac{1}{x}\right)}}{x^{3} \left(e + \frac{1}{x}\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{2 e}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 - \frac{1}{x \left(e + \frac{1}{x}\right)}}{x^{3} \left(e + \frac{1}{x}\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 - \frac{1}{x \left(e + \frac{1}{x}\right)}}{x^{3} \left(e + \frac{1}{x}\right)}\right) = \infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-exp(-1)/2, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -exp(-1)/2]
Вертикальные асимптоты
[TeX]
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left (e^{1} + \frac{1}{x} \right )} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left (e^{1} + \frac{1}{x} \right )} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(exp(1) + 1/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (e^{1} + \frac{1}{x} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (e^{1} + \frac{1}{x} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left (e^{1} + \frac{1}{x} \right )} = \log{\left (e^{1} - \frac{1}{x} \right )}$$
- Нет
$$\log{\left (e^{1} + \frac{1}{x} \right )} = - \log{\left (e^{1} - \frac{1}{x} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной