График функции y = 6*(t-sin(t))

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
f(t) = 6*(t - sin(t))
$$f{\left (t \right )} = 6 \left(t - \sin{\left (t \right )}\right)$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось T при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$6 \left(t - \sin{\left (t \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью T:

Численное решение
$$t_{1} = -1.80175000296 \cdot 10^{-5}$$
$$t_{2} = -1.98408831576 \cdot 10^{-5}$$
$$t_{3} = 9.87747756721 \cdot 10^{-5}$$
$$t_{4} = -1.47286646559 \cdot 10^{-5}$$
$$t_{5} = -8.95231865768 \cdot 10^{-5}$$
$$t_{6} = -9.83485862207 \cdot 10^{-5}$$
$$t_{7} = 3.89118697646 \cdot 10^{-6}$$
$$t_{8} = -2.5212491753 \cdot 10^{-5}$$
$$t_{9} = -2.1240493551 \cdot 10^{-5}$$
$$t_{10} = 0.000103586989847$$
$$t_{11} = -8.65514725284 \cdot 10^{-5}$$
$$t_{12} = -1.46863857904 \cdot 10^{-6}$$
$$t_{13} = 2.49127326984 \cdot 10^{-5}$$
$$t_{14} = -3.17741918727 \cdot 10^{-5}$$
$$t_{15} = 0$$
$$t_{16} = -0.000101863601828$$
$$t_{17} = -2.30650948881 \cdot 10^{-5}$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда t равняется 0:
подставляем t = 0 в 6*(t - sin(t)).
$$6 \left(- \sin{\left (0 \right )}\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d t} f{\left (t \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d t} f{\left (t \right )} = $$
Первая производная
$$- 6 \cos{\left (t \right )} + 6 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = 2 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

(2*pi, 12*pi)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left (t \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left (t \right )} = $$
Вторая производная
$$6 \sin{\left (t \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[0, pi]

Выпуклая на промежутках
(-oo, 0] U [pi, oo)
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при t->+oo и t->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(6 \left(t - \sin{\left (t \right )}\right)\right) = \langle -6, 6\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -6, 6\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(6 \left(t - \sin{\left (t \right )}\right)\right) = \langle -6, 6\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -6, 6\rangle$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 6*(t - sin(t)), делённой на t при t->+oo и t ->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = t \lim_{t \to -\infty}\left(\frac{1}{t} \left(6 t - 6 \sin{\left (t \right )}\right)\right)$$
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = t \lim_{t \to \infty}\left(\frac{1}{t} \left(6 t - 6 \sin{\left (t \right )}\right)\right)$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-t) и f = -f(-t).
Итак, проверяем:
$$6 \left(t - \sin{\left (t \right )}\right) = - 6 t + 6 \sin{\left (t \right )}$$
- Нет
$$6 \left(t - \sin{\left (t \right )}\right) = - -1 \cdot 6 t - 6 \sin{\left (t \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной