График функции y = (x^2-4)*(x+3)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
       / 2    \        
f(x) = \x  - 4/*(x + 3)
$$f{\left (x \right )} = \left(x + 3\right) \left(x^{2} - 4\right)$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x + 3\right) \left(x^{2} - 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -2$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 - 4)*(x + 3).
$$3 \left(-4 + 0^{2}\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -12$$
Точка:
(0, -12)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{2} + 2 x \left(x + 3\right) - 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1 + \frac{\sqrt{21}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{3} - 1$$
Зн. экстремумы в точках:
              /                  2\              
        ____  |     /       ____\ | /      ____\ 
      \/ 21   |     |     \/ 21 | | |    \/ 21 | 
(-1 + ------, |-4 + |-1 + ------| |*|2 + ------|)
        3     \     \       3   / / \      3   / 

              /                  2\              
        ____  |     /       ____\ | /      ____\ 
      \/ 21   |     |     \/ 21 | | |    \/ 21 | 
(-1 - ------, |-4 + |-1 - ------| |*|2 - ------|)
        3     \     \       3   / / \      3   / 


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -1 + \frac{\sqrt{21}}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{3} - 1$$
Убывает на промежутках
(-oo, -sqrt(21)/3 - 1] U [-1 + sqrt(21)/3, oo)

Возрастает на промежутках
[-sqrt(21)/3 - 1, -1 + sqrt(21)/3]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$6 \left(x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-1, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -1]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 3\right) \left(x^{2} - 4\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 3\right) \left(x^{2} - 4\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 4)*(x + 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + 3\right) \left(x^{2} - 4\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + 3\right) \left(x^{2} - 4\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x + 3\right) \left(x^{2} - 4\right) = \left(- x + 3\right) \left(x^{2} - 4\right)$$
- Нет
$$\left(x + 3\right) \left(x^{2} - 4\right) = - \left(- x + 3\right) \left(x^{2} - 4\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной