График функции y = (x^2-1)/(x^2+4)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        2    
       x  - 1
f(x) = ------
        2    
       x  + 4
$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 4}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 - 1)/(x^2 + 4).
$$\frac{-1 + 0^{2}}{0^{2} + 4}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \frac{1}{4}$$
Точка:
(0, -1/4)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{2 x \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} + \frac{2 x}{x^{2} + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, -1/4)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[0, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 0]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{2} + 4} \left(\frac{8 x^{2} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} - \frac{8 x^{2}}{x^{2} + 4} - \frac{2 x^{2} - 2}{x^{2} + 4} + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-2*sqrt(3)/3, 2*sqrt(3)/3]

Выпуклая на промежутках
(-oo, -2*sqrt(3)/3] U [2*sqrt(3)/3, oo)
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 4}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 4}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 1)/(x^2 + 4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x \left(x^{2} + 4\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x \left(x^{2} + 4\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 4} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 4}$$
- Да
$$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 4} = - \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 4}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной