График функции y = (4*x^2+5)/(4*x+8)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
          2    
       4*x  + 5
f(x) = --------
       4*x + 8 
$$f{\left (x \right )} = \frac{4 x^{2} + 5}{4 x + 8}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -2$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{4 x^{2} + 5}{4 x + 8} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (4*x^2 + 5)/(4*x + 8).
$$\frac{4 \cdot 0^{2} + 5}{0 \cdot 4 + 8}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{5}{8}$$
Точка:
(0, 5/8)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{8 x}{4 x + 8} - \frac{16 x^{2} + 20}{\left(4 x + 8\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2 + \frac{\sqrt{21}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{2} - 2$$
Зн. экстремумы в точках:
                     /                   2\ 
                     |      /       ____\ | 
                ____ |      |     \/ 21 | | 
        ____  \/ 21 *|5 + 4*|-2 + ------| | 
      \/ 21          \      \       2   / / 
(-2 + ------, -----------------------------)
        2                   42              

                      /                   2\  
                      |      /       ____\ |  
                 ____ |      |     \/ 21 | |  
        ____  -\/ 21 *|5 + 4*|-2 - ------| |  
      \/ 21           \      \       2   / /  
(-2 - ------, -------------------------------)
        2                    42               


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -2 + \frac{\sqrt{21}}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{2} - 2$$
Убывает на промежутках
(-oo, -sqrt(21)/2 - 2] U [-2 + sqrt(21)/2, oo)

Возрастает на промежутках
[-sqrt(21)/2 - 2, -2 + sqrt(21)/2]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x + 2} \left(- \frac{4 x}{x + 2} + 2 + \frac{4 x^{2} + 5}{2 \left(x + 2\right)^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = -2$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{2} + 5}{4 x + 8}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{2} + 5}{4 x + 8}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (4*x^2 + 5)/(4*x + 8), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{2} + 5}{x \left(4 x + 8\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{2} + 5}{x \left(4 x + 8\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{4 x^{2} + 5}{4 x + 8} = \frac{4 x^{2} + 5}{- 4 x + 8}$$
- Нет
$$\frac{4 x^{2} + 5}{4 x + 8} = - \frac{4 x^{2} + 5}{- 4 x + 8}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной