График функции y = cbrt(x)*(1-x^3)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
       3 ___ /     3\
f(x) = \/ x *\1 - x /
$$f{\left (x \right )} = \sqrt[3]{x} \left(- x^{3} + 1\right)$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt[3]{x} \left(- x^{3} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^(1/3)*(1 - x^3).
$$\sqrt[3]{0} \left(- 0 + 1\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 3 x^{\frac{7}{3}} + \frac{- x^{3} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{10^{\frac{2}{3}}}{10}$$
Зн. экстремумы в точках:
   2/3      8/9 
 10     9*10    
(-----, -------)
   10     100   


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{10^{\frac{2}{3}}}{10}$$
Убывает на промежутках
(-oo, 10**(2/3)/10]

Возрастает на промежутках
[10**(2/3)/10, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(- 4 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{3} - 1}{9 x^{\frac{5}{3}}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{35^{\frac{2}{3}}}{35}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -35**(2/3)/35]

Выпуклая на промежутках
[-35**(2/3)/35, oo)
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt[3]{x} \left(- x^{3} + 1\right)\right) = \infty \sqrt[3]{-1}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \infty \sqrt[3]{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt[3]{x} \left(- x^{3} + 1\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^(1/3)*(1 - x^3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \left(- x^{3} + 1\right)\right) = - \infty \sqrt[3]{-1}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - \infty \sqrt[3]{-1} x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \left(- x^{3} + 1\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt[3]{x} \left(- x^{3} + 1\right) = \sqrt[3]{- x} \left(x^{3} + 1\right)$$
- Нет
$$\sqrt[3]{x} \left(- x^{3} + 1\right) = - \sqrt[3]{- x} \left(x^{3} + 1\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной