График функции y = (4*x^2+1)/x

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
          2    
       4*x  + 1
f(x) = --------
          x    
$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{x} \left(4 x^{2} + 1\right)$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{x} \left(4 x^{2} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (4*x^2 + 1)/x.
$$\frac{1}{0} \left(4 \cdot 0^{2} + 1\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$8 - \frac{1}{x^{2}} \left(4 x^{2} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(-1/2, -4)

(1/2, 4)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
Убывает на промежутках
(-oo, -1/2] U [1/2, oo)

Возрастает на промежутках
[-1/2, 1/2]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x} \left(-8 + \frac{1}{x^{2}} \left(8 x^{2} + 2\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(4 x^{2} + 1\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(4 x^{2} + 1\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (4*x^2 + 1)/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(4 x^{2} + 1\right)\right) = 4$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = 4 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(4 x^{2} + 1\right)\right) = 4$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = 4 x$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{x} \left(4 x^{2} + 1\right) = - \frac{1}{x} \left(4 x^{2} + 1\right)$$
- Нет
$$\frac{1}{x} \left(4 x^{2} + 1\right) = - \frac{1}{x} \left(- 4 x^{2} - 1\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной