График функции y = 2*x-3*x^(2/3)+5

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
                2/3    
f(x) = 2*x - 3*x    + 5
$$f{\left (x \right )} = - 3 x^{\frac{2}{3}} + 2 x + 5$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 3 x^{\frac{2}{3}} + 2 x + 5 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x - 3*x^(2/3) + 5.
$$0 \cdot 2 - 0 + 5$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 5$$
Точка:
(0, 5)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
(1, 4)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[1, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 1]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 3 x^{\frac{2}{3}} + 2 x + 5\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x^{\frac{2}{3}} + 2 x + 5\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x - 3*x^(2/3) + 5, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 3 x^{\frac{2}{3}} + 2 x + 5\right)\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 3 x^{\frac{2}{3}} + 2 x + 5\right)\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = 2 x$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 3 x^{\frac{2}{3}} + 2 x + 5 = - 2 x - 3 \left(- x\right)^{\frac{2}{3}} + 5$$
- Нет
$$- 3 x^{\frac{2}{3}} + 2 x + 5 = - -1 \cdot 2 x - - 3 \left(- x\right)^{\frac{2}{3}} - 5$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной