График функции y = cos(x)/x

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
       cos(x)
f(x) = ------
         x   
$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{x} \cos{\left (x \right )}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{x} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -54.9778714378$$
$$x_{2} = 39.2699081699$$
$$x_{3} = 51.8362787842$$
$$x_{4} = 86.3937979737$$
$$x_{5} = -17.2787595947$$
$$x_{6} = 45.5530934771$$
$$x_{7} = 61.261056745$$
$$x_{8} = 67.5442420522$$
$$x_{9} = -70.6858347058$$
$$x_{10} = -89.5353906273$$
$$x_{11} = 92.6769832809$$
$$x_{12} = 76.9690200129$$
$$x_{13} = -32.9867228627$$
$$x_{14} = 17.2787595947$$
$$x_{15} = -48.6946861306$$
$$x_{16} = -80.1106126665$$
$$x_{17} = -42.4115008235$$
$$x_{18} = -58.1194640914$$
$$x_{19} = 1.57079632679$$
$$x_{20} = -95.8185759345$$
$$x_{21} = 95.8185759345$$
$$x_{22} = -36.1283155163$$
$$x_{23} = -64.4026493986$$
$$x_{24} = 36.1283155163$$
$$x_{25} = -61.261056745$$
$$x_{26} = -92.6769832809$$
$$x_{27} = 32.9867228627$$
$$x_{28} = -14.1371669412$$
$$x_{29} = 80.1106126665$$
$$x_{30} = 4.71238898038$$
$$x_{31} = 10.9955742876$$
$$x_{32} = 7.85398163397$$
$$x_{33} = 23.5619449019$$
$$x_{34} = -39.2699081699$$
$$x_{35} = 64.4026493986$$
$$x_{36} = -387.986692718$$
$$x_{37} = -73.8274273594$$
$$x_{38} = 20.4203522483$$
$$x_{39} = -26.7035375555$$
$$x_{40} = -83.2522053201$$
$$x_{41} = -98.9601685881$$
$$x_{42} = 48.6946861306$$
$$x_{43} = 14.1371669412$$
$$x_{44} = 98.9601685881$$
$$x_{45} = -45.5530934771$$
$$x_{46} = -51.8362787842$$
$$x_{47} = -67.5442420522$$
$$x_{48} = 54.9778714378$$
$$x_{49} = 26.7035375555$$
$$x_{50} = -86.3937979737$$
$$x_{51} = -20.4203522483$$
$$x_{52} = -168.075206967$$
$$x_{53} = -4.71238898038$$
$$x_{54} = -76.9690200129$$
$$x_{55} = 89.5353906273$$
$$x_{56} = -10.9955742876$$
$$x_{57} = -2266.65909957$$
$$x_{58} = -7.85398163397$$
$$x_{59} = -1.57079632679$$
$$x_{60} = -23.5619449019$$
$$x_{61} = 73.8274273594$$
$$x_{62} = 70.6858347058$$
$$x_{63} = 29.8451302091$$
$$x_{64} = 42.4115008235$$
$$x_{65} = 83.2522053201$$
$$x_{66} = 58.1194640914$$
$$x_{67} = -29.8451302091$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x)/x.
$$\frac{1}{0} \cos{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{1}{x} \sin{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{2}} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -62.815934889$$
$$x_{2} = 62.815934889$$
$$x_{3} = -12.4864543952$$
$$x_{4} = -78.5270825679$$
$$x_{5} = -65.9582857894$$
$$x_{6} = 65.9582857894$$
$$x_{7} = -100.521017075$$
$$x_{8} = 97.3791034786$$
$$x_{9} = -47.1026627704$$
$$x_{10} = -6.1212504669$$
$$x_{11} = -75.3849592185$$
$$x_{12} = -81.6691650818$$
$$x_{13} = -50.2455828376$$
$$x_{14} = 34.5285657555$$
$$x_{15} = -34.5285657555$$
$$x_{16} = 47.1026627704$$
$$x_{17} = -43.9595528889$$
$$x_{18} = 25.0929104121$$
$$x_{19} = -15.6441283703$$
$$x_{20} = 84.8112112993$$
$$x_{21} = 40.8162093266$$
$$x_{22} = -31.3840740179$$
$$x_{23} = -21.94561288$$
$$x_{24} = -97.3791034786$$
$$x_{25} = -87.9532251107$$
$$x_{26} = -28.2389365753$$
$$x_{27} = -56.5309801938$$
$$x_{28} = -84.8112112993$$
$$x_{29} = 59.6735041304$$
$$x_{30} = -69.100567728$$
$$x_{31} = 12.4864543952$$
$$x_{32} = 43.9595528889$$
$$x_{33} = -94.2371684817$$
$$x_{34} = -25.0929104121$$
$$x_{35} = 53.3883466217$$
$$x_{36} = -59.6735041304$$
$$x_{37} = 72.2427897047$$
$$x_{38} = 75.3849592185$$
$$x_{39} = 21.94561288$$
$$x_{40} = 91.0952098694$$
$$x_{41} = 100.521017075$$
$$x_{42} = -91.0952098694$$
$$x_{43} = 81.6691650818$$
$$x_{44} = -53.3883466217$$
$$x_{45} = 18.7964043662$$
$$x_{46} = 56.5309801938$$
$$x_{47} = 28.2389365753$$
$$x_{48} = -2.79838604578$$
$$x_{49} = -18.7964043662$$
$$x_{50} = 50.2455828376$$
$$x_{51} = 31.3840740179$$
$$x_{52} = 6.1212504669$$
$$x_{53} = -40.8162093266$$
$$x_{54} = 15.6441283703$$
$$x_{55} = 78.5270825679$$
$$x_{56} = 87.9532251107$$
$$x_{57} = 94.2371684817$$
$$x_{58} = -72.2427897047$$
$$x_{59} = 9.31786646179$$
$$x_{60} = 2.79838604578$$
$$x_{61} = 0$$
$$x_{62} = -37.6725735651$$
$$x_{63} = 69.100567728$$
$$x_{64} = 37.6725735651$$
$$x_{65} = -9.31786646179$$
Зн. экстремумы в точках:
(-62.815934889, -0.015917510583426)

(62.815934889, 0.015917510583426)

(-12.4864543952, -0.0798311807800032)

(-78.5270825679, 0.0127334276777468)

(-65.9582857894, 0.0151593553168405)

(65.9582857894, -0.0151593553168405)

(-100.521017075, -0.00994767611536293)

(97.3791034786, -0.0102686022030809)

(-47.1026627704, 0.0212254394164143)

(-6.1212504669, -0.161228034325064)

(-75.3849592185, -0.0132640786518247)

(-81.6691650818, -0.0122436055670467)

(-50.2455828376, -0.0198983065303553)

(34.5285657555, -0.0289493889114503)

(-34.5285657555, 0.0289493889114503)

(47.1026627704, -0.0212254394164143)

(-43.9595528889, -0.0227423004725314)

(25.0929104121, 0.0398202855500511)

(-15.6441283703, 0.0637915530395936)

(84.8112112993, -0.0117900744410767)

(40.8162093266, -0.0244927205346957)

(-31.3840740179, -0.0318471321112693)

(-21.94561288, 0.0455199604051285)

(-97.3791034786, 0.0102686022030809)

(-87.9532251107, -0.0113689449158811)

(-28.2389365753, 0.0353899155541688)

(-56.5309801938, -0.0176866485521696)

(-84.8112112993, 0.0117900744410767)

(59.6735041304, -0.0167555036571887)

(-69.100567728, -0.0144701459746764)

(12.4864543952, 0.0798311807800032)

(43.9595528889, 0.0227423004725314)

(-94.2371684817, -0.01061092686295)

(-25.0929104121, -0.0398202855500511)

(53.3883466217, -0.0187273944640866)

(-59.6735041304, 0.0167555036571887)

(72.2427897047, -0.0138408859131547)

(75.3849592185, 0.0132640786518247)

(21.94561288, -0.0455199604051285)

(91.0952098694, -0.0109768642483425)

(100.521017075, 0.00994767611536293)

(-91.0952098694, 0.0109768642483425)

(81.6691650818, 0.0122436055670467)

(-53.3883466217, 0.0187273944640866)

(18.7964043662, 0.0531265325613881)

(56.5309801938, 0.0176866485521696)

(28.2389365753, -0.0353899155541688)

(-2.79838604578, 0.336508416918395)

(-18.7964043662, -0.0531265325613881)

(50.2455828376, 0.0198983065303553)

(31.3840740179, 0.0318471321112693)

(6.1212504669, 0.161228034325064)

(-40.8162093266, 0.0244927205346957)

(15.6441283703, -0.0637915530395936)

(78.5270825679, -0.0127334276777468)

(87.9532251107, 0.0113689449158811)

(94.2371684817, 0.01061092686295)

(-72.2427897047, 0.0138408859131547)

(9.31786646179, -0.106707947715237)

(2.79838604578, -0.336508416918395)

(0, +inf)

(-37.6725735651, -0.0265351630103045)

(69.100567728, 0.0144701459746764)

(37.6725735651, 0.0265351630103045)

(-9.31786646179, 0.106707947715237)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{65} = -62.815934889$$
$$x_{65} = -12.4864543952$$
$$x_{65} = 65.9582857894$$
$$x_{65} = -100.521017075$$
$$x_{65} = 97.3791034786$$
$$x_{65} = -6.1212504669$$
$$x_{65} = -75.3849592185$$
$$x_{65} = -81.6691650818$$
$$x_{65} = -50.2455828376$$
$$x_{65} = 34.5285657555$$
$$x_{65} = 47.1026627704$$
$$x_{65} = -43.9595528889$$
$$x_{65} = 84.8112112993$$
$$x_{65} = 40.8162093266$$
$$x_{65} = -31.3840740179$$
$$x_{65} = -87.9532251107$$
$$x_{65} = -56.5309801938$$
$$x_{65} = 59.6735041304$$
$$x_{65} = -69.100567728$$
$$x_{65} = -94.2371684817$$
$$x_{65} = -25.0929104121$$
$$x_{65} = 53.3883466217$$
$$x_{65} = 72.2427897047$$
$$x_{65} = 21.94561288$$
$$x_{65} = 91.0952098694$$
$$x_{65} = 28.2389365753$$
$$x_{65} = -18.7964043662$$
$$x_{65} = 15.6441283703$$
$$x_{65} = 78.5270825679$$
$$x_{65} = 9.31786646179$$
$$x_{65} = 2.79838604578$$
$$x_{65} = -37.6725735651$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{65} = 62.815934889$$
$$x_{65} = -78.5270825679$$
$$x_{65} = -65.9582857894$$
$$x_{65} = -47.1026627704$$
$$x_{65} = -34.5285657555$$
$$x_{65} = 25.0929104121$$
$$x_{65} = -15.6441283703$$
$$x_{65} = -21.94561288$$
$$x_{65} = -97.3791034786$$
$$x_{65} = -28.2389365753$$
$$x_{65} = -84.8112112993$$
$$x_{65} = 12.4864543952$$
$$x_{65} = 43.9595528889$$
$$x_{65} = -59.6735041304$$
$$x_{65} = 75.3849592185$$
$$x_{65} = 100.521017075$$
$$x_{65} = -91.0952098694$$
$$x_{65} = 81.6691650818$$
$$x_{65} = -53.3883466217$$
$$x_{65} = 18.7964043662$$
$$x_{65} = 56.5309801938$$
$$x_{65} = -2.79838604578$$
$$x_{65} = 50.2455828376$$
$$x_{65} = 31.3840740179$$
$$x_{65} = 6.1212504669$$
$$x_{65} = -40.8162093266$$
$$x_{65} = 87.9532251107$$
$$x_{65} = 94.2371684817$$
$$x_{65} = -72.2427897047$$
$$x_{65} = 0$$
$$x_{65} = 69.100567728$$
$$x_{65} = 37.6725735651$$
$$x_{65} = -9.31786646179$$
Убывает на промежутках
[97.3791034786, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -100.521017075]
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x)/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x^{2}} \cos{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{2}} \cos{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{x} \cos{\left (x \right )} = - \frac{1}{x} \cos{\left (x \right )}$$
- Нет
$$\frac{1}{x} \cos{\left (x \right )} = - \frac{1}{x} \left(-1 \cos{\left (x \right )}\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной