График функции y = (x^2-7*x+12)/(x+3)

Вы ввели

        2           
       x  - 7*x + 12
f(x) = -------------
           x + 3    

$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x + 3}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -3$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 7 x + 12}{x + 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 4$$
Численное решение
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 3$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 - 7*x + 12)/(x + 3).
$$\frac{1}{3} \left(0^{2} - 0 + 12\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 4$$
Точка:

(0, 4)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 x - 7}{x + 3} - \frac{x^{2} - 7 x + 12}{\left(x + 3\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -3 + \sqrt{42}$$
$$x_{2} = - \sqrt{42} - 3$$
Зн. экстремумы в точках:

                     /                  2           \ 
                ____ |     /       ____\        ____| 
        ____  \/ 42 *\33 + \-3 + \/ 42 /  - 7*\/ 42 / 
(-3 + \/ 42, ---------------------------------------)
                                 42                   

                      /                  2           \  
                 ____ |     /       ____\        ____|  
        ____  -\/ 42 *\33 + \-3 - \/ 42 /  + 7*\/ 42 /  
(-3 - \/ 42, -----------------------------------------)
                                  42                    

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -3 + \sqrt{42}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \sqrt{42} - 3$$
Убывает на промежутках

(-oo, -sqrt(42) - 3] U [-3 + sqrt(42), oo)

Возрастает на промежутках

[-sqrt(42) - 3, -3 + sqrt(42)]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x + 3} \left(2 - \frac{4 x - 14}{x + 3} + \frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}} \left(2 x^{2} - 14 x + 24\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -3$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 7 x + 12}{x + 3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 7 x + 12}{x + 3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 7*x + 12)/(x + 3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 7 x + 12}{x \left(x + 3\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 7 x + 12}{x \left(x + 3\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 7 x + 12}{x + 3} = \frac{x^{2} + 7 x + 12}{- x + 3}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} - 7 x + 12}{x + 3} = - \frac{x^{2} + 7 x + 12}{- x + 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной