График функции y = 7+cos(6*x)/2

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
           cos(6*x)
f(x) = 7 + --------
              2    
$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{2} \cos{\left (6 x \right )} + 7$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{2} \cos{\left (6 x \right )} + 7 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 7 + cos(6*x)/2.
$$\frac{1}{2} \cos{\left (0 \cdot 6 \right )} + 7$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{15}{2}$$
Точка:
(0, 15/2)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 3 \sin{\left (6 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 15/2)

 pi       
(--, 13/2)
 6        


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
(-oo, 0] U [pi/6, oo)

Возрастает на промежутках
[0, pi/6]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 18 \cos{\left (6 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[pi/12, pi/4]

Выпуклая на промежутках
(-oo, pi/12] U [pi/4, oo)
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{2} \cos{\left (6 x \right )} + 7\right) = \langle \frac{13}{2}, \frac{15}{2}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle \frac{13}{2}, \frac{15}{2}\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2} \cos{\left (6 x \right )} + 7\right) = \langle \frac{13}{2}, \frac{15}{2}\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle \frac{13}{2}, \frac{15}{2}\rangle$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 7 + cos(6*x)/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{1}{2} \cos{\left (6 x \right )} + 7\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{1}{2} \cos{\left (6 x \right )} + 7\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{2} \cos{\left (6 x \right )} + 7 = \frac{1}{2} \cos{\left (6 x \right )} + 7$$
- Да
$$\frac{1}{2} \cos{\left (6 x \right )} + 7 = - \frac{1}{2} \cos{\left (6 x \right )} - 7$$
- Нет
значит, функция
является
чётной