График функции y = (4-2*x)/(1-x^2)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
       4 - 2*x
f(x) = -------
             2
        1 - x 
$$f{\left (x \right )} = \frac{- 2 x + 4}{- x^{2} + 1}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{- 2 x + 4}{- x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (4 - 2*x)/(1 - x^2).
$$\frac{- 0 + 4}{- 0 + 1}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 4$$
Точка:
(0, 4)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 x \left(- 2 x + 4\right)}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{2}{- x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \sqrt{3} + 2$$
$$x_{2} = \sqrt{3} + 2$$
Зн. экстремумы в точках:
                    ___      
       ___      2*\/ 3       
(2 - \/ 3, ----------------)
                           2 
                /      ___\  
            1 - \2 - \/ 3 /  

                     ___     
       ___      -2*\/ 3      
(2 + \/ 3, ----------------)
                           2 
                /      ___\  
            1 - \2 + \/ 3 /  


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \sqrt{3} + 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \sqrt{3} + 2$$
Убывает на промежутках
[-sqrt(3) + 2, sqrt(3) + 2]

Возрастает на промежутках
(-oo, -sqrt(3) + 2] U [sqrt(3) + 2, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(- \frac{16 x^{2} \left(- x + 2\right)}{x^{2} - 1} - 12 x + 8\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(- \frac{16 x^{2} \left(- x + 2\right)}{x^{2} - 1} - 12 x + 8\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(- \frac{16 x^{2} \left(- x + 2\right)}{x^{2} - 1} - 12 x + 8\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(- \frac{16 x^{2} \left(- x + 2\right)}{x^{2} - 1} - 12 x + 8\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(- \frac{16 x^{2} \left(- x + 2\right)}{x^{2} - 1} - 12 x + 8\right)\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 1$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[3**(1/3) + 2 + 3**(2/3), oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 3**(1/3) + 2 + 3**(2/3)]
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x + 4}{- x^{2} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + 4}{- x^{2} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (4 - 2*x)/(1 - x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x + 4}{x \left(- x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + 4}{x \left(- x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{- 2 x + 4}{- x^{2} + 1} = \frac{2 x + 4}{- x^{2} + 1}$$
- Нет
$$\frac{- 2 x + 4}{- x^{2} + 1} = - \frac{2 x + 4}{- x^{2} + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной