График функции y = (2*x-5)/(3*x+1)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
       2*x - 5
f(x) = -------
       3*x + 1
$$f{\left (x \right )} = \frac{2 x - 5}{3 x + 1}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -0.333333333333333$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x - 5}{3 x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 2.5$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2*x - 5)/(3*x + 1).
$$\frac{-5 + 0 \cdot 2}{0 \cdot 3 + 1}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -5$$
Точка:
(0, -5)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{6 x - 15}{\left(3 x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{3 x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{\left(3 x + 1\right)^{2}} \left(\frac{36 x - 90}{3 x + 1} - 12\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = -0.333333333333333$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 5}{3 x + 1}\right) = \frac{2}{3}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 5}{3 x + 1}\right) = \frac{2}{3}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \frac{2}{3}$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x - 5)/(3*x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 5}{x \left(3 x + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 5}{x \left(3 x + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x - 5}{3 x + 1} = \frac{- 2 x - 5}{- 3 x + 1}$$
- Нет
$$\frac{2 x - 5}{3 x + 1} = - \frac{- 2 x - 5}{- 3 x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной