График функции y = sqrt(x)*exp(x)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
         ___  x
f(x) = \/ x *e 
$$f{\left (x \right )} = \sqrt{x} e^{x}$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{x} e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -33.4042694138$$
$$x_{2} = -89.0085679306$$
$$x_{3} = -79.0291136628$$
$$x_{4} = -104.984972393$$
$$x_{5} = -53.1309970906$$
$$x_{6} = -116.97202655$$
$$x_{7} = -87.0122330967$$
$$x_{8} = -69.0570095659$$
$$x_{9} = -98.9927946594$$
$$x_{10} = -114.973973494$$
$$x_{11} = -71.050657879$$
$$x_{12} = -85.0161016525$$
$$x_{13} = -73.0447315519$$
$$x_{14} = -65.0711886544$$
$$x_{15} = -29.5597318722$$
$$x_{16} = -100.990069111$$
$$x_{17} = -83.0201911228$$
$$x_{18} = -110.978104751$$
$$x_{19} = -57.1073737497$$
$$x_{20} = -45.1966038596$$
$$x_{21} = -77.0339935679$$
$$x_{22} = -39.2740530264$$
$$x_{23} = -112.97599798$$
$$x_{24} = -55.118610821$$
$$x_{25} = -47.1771902579$$
$$x_{26} = -43.2187501477$$
$$x_{27} = -49.1600217512$$
$$x_{28} = 0$$
$$x_{29} = -94.998643402$$
$$x_{30} = -120.968348081$$
$$x_{31} = -102.987464315$$
$$x_{32} = -75.039188904$$
$$x_{33} = -67.0638346232$$
$$x_{34} = -106.982586137$$
$$x_{35} = -108.980298944$$
$$x_{36} = -91.0050904445$$
$$x_{37} = -61.0877539259$$
$$x_{38} = -63.079136438$$
$$x_{39} = -51.1447223744$$
$$x_{40} = -93.0017865135$$
$$x_{41} = -37.3093090542$$
$$x_{42} = -31.4710200386$$
$$x_{43} = -35.351816513$$
$$x_{44} = -118.970152765$$
$$x_{45} = -59.097130796$$
$$x_{46} = -96.9956495959$$
$$x_{47} = -41.2442746297$$
$$x_{48} = -81.0245211193$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(x)*exp(x).
$$\sqrt{0} e^{0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\sqrt{x} e^{x} + \frac{e^{x}}{2 \sqrt{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
           ___  -1/2 
       I*\/ 2 *e     
(-1/2, -------------)
             2       


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}\right) e^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-1/2 + sqrt(2)/2, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -1/2 + sqrt(2)/2]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} e^{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} e^{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(x)*exp(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{\sqrt{x}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{\sqrt{x}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{x} e^{x} = \sqrt{- x} e^{- x}$$
- Нет
$$\sqrt{x} e^{x} = - \sqrt{- x} e^{- x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной