График функции y = (-x^2)/2+8/x+8

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
         2         
       -x     8    
f(x) = ---- + - + 8
        2     x    
$$f{\left (x \right )} = \frac{-1 x^{2}}{2} + \frac{8}{x} + 8$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{-1 x^{2}}{2} + \frac{8}{x} + 8 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{8}{3 \sqrt[3]{1 + \frac{\sqrt{111} i}{9}}} + 2 \sqrt[3]{1 + \frac{\sqrt{111} i}{9}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.07837774562$$
$$x_{2} = -3.35026174113$$
$$x_{3} = 4.42863948676$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (-x^2)/2 + 8/x + 8.
$$\frac{1}{2} \left(-1 \cdot 0^{2}\right) + \frac{8}{0} + 8$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- x - \frac{8}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
Зн. экстремумы в точках:
(-2, 2)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
Убывает на промежутках
(-oo, -2]

Возрастает на промежутках
[-2, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$-1 + \frac{16}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2 \sqrt[3]{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(-1 + \frac{16}{x^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(-1 + \frac{16}{x^{3}}\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 2*2**(1/3)]

Выпуклая на промежутках
[2*2**(1/3), oo)
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{-1 x^{2}}{2} + \frac{8}{x} + 8\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 x^{2}}{2} + \frac{8}{x} + 8\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (-x^2)/2 + 8/x + 8, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{-1 x^{2}}{2} + \frac{8}{x} + 8\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{-1 x^{2}}{2} + \frac{8}{x} + 8\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{-1 x^{2}}{2} + \frac{8}{x} + 8 = \frac{-1 x^{2}}{2} + 8 - \frac{8}{x}$$
- Нет
$$\frac{-1 x^{2}}{2} + \frac{8}{x} + 8 = - \frac{-1 x^{2}}{2} - 8 - - \frac{8}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной