График функции y = (4*x^3-x^4)/9

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
          3    4
       4*x  - x 
f(x) = ---------
           9    
$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{9} \left(- x^{4} + 4 x^{3}\right)$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{9} \left(- x^{4} + 4 x^{3}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (4*x^3 - x^4)/9.
$$\frac{1}{9} \left(4 \cdot 0^{3} - 0\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{4 x^{3}}{9} + \frac{4 x^{2}}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

(3, 3)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 3$$
Убывает на промежутках
(-oo, 3]

Возрастает на промежутках
[3, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{4 x}{3} \left(- x + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[0, 2]

Выпуклая на промежутках
(-oo, 0] U [2, oo)
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{9} \left(- x^{4} + 4 x^{3}\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{9} \left(- x^{4} + 4 x^{3}\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (4*x^3 - x^4)/9, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{9 x} \left(- x^{4} + 4 x^{3}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{9 x} \left(- x^{4} + 4 x^{3}\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{9} \left(- x^{4} + 4 x^{3}\right) = - \frac{x^{4}}{9} - \frac{4 x^{3}}{9}$$
- Нет
$$\frac{1}{9} \left(- x^{4} + 4 x^{3}\right) = - \frac{-1 x^{4}}{9} - - \frac{4 x^{3}}{9}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной