График функции y = x^3-1/4*x^2

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
             2
        3   x 
f(x) = x  - --
            4 
$$f{\left (x \right )} = x^{3} - \frac{x^{2}}{4}$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} - \frac{x^{2}}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{1}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0.25$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 - x^2/4.
$$0^{3} - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 x^{2} - \frac{x}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{1}{6}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

(1/6, -1/432)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{1}{6}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
(-oo, 0] U [1/6, oo)

Возрастает на промежутках
[0, 1/6]
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$6 x - \frac{1}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{12}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[1/12, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 1/12]
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - \frac{x^{2}}{4}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - \frac{x^{2}}{4}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - x^2/4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} - \frac{x^{2}}{4}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} - \frac{x^{2}}{4}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{3} - \frac{x^{2}}{4} = - x^{3} - \frac{x^{2}}{4}$$
- Нет
$$x^{3} - \frac{x^{2}}{4} = - -1 x^{3} - - \frac{x^{2}}{4}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной