График функции y = 3*(|x+8|)-x^2-14*x-48

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
                    2            
f(x) = 3*|x + 8| - x  - 14*x - 48
$$f{\left (x \right )} = - 14 x + - x^{2} + 3 \left|{x + 8}\right| - 48$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 14 x + - x^{2} + 3 \left|{x + 8}\right| - 48 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -9$$
$$x_{2} = -8$$
$$x_{3} = -3$$
Численное решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -8$$
$$x_{3} = -9$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 3*|x + 8| - x^2 - 14*x - 48.
$$-48 + - 0 + - 0 + 3 \left|{8}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -24$$
Точка:
(0, -24)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 2 x + 3 \operatorname{sign}{\left (x + 8 \right )} - 14 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{11}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(-11/2, 25/4)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{11}{2}$$
Убывает на промежутках
(-oo, -11/2]

Возрастает на промежутках
[-11/2, oo)
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 14 x + - x^{2} + 3 \left|{x + 8}\right| - 48\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 14 x + - x^{2} + 3 \left|{x + 8}\right| - 48\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3*|x + 8| - x^2 - 14*x - 48, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 14 x + - x^{2} + 3 \left|{x + 8}\right| - 48\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 14 x + - x^{2} + 3 \left|{x + 8}\right| - 48\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 14 x + - x^{2} + 3 \left|{x + 8}\right| - 48 = - x^{2} + 14 x + 3 \left|{x - 8}\right| - 48$$
- Нет
$$- 14 x + - x^{2} + 3 \left|{x + 8}\right| - 48 = - -1 x^{2} - 14 x - 3 \left|{x - 8}\right| + 48$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной