График функции y = (x+2)^(2/3)-(x-2)^(2/3)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
              2/3          2/3
f(x) = (x + 2)    - (x - 2)   
$$f{\left (x \right )} = - \left(x - 2\right)^{\frac{2}{3}} + \left(x + 2\right)^{\frac{2}{3}}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \left(x - 2\right)^{\frac{2}{3}} + \left(x + 2\right)^{\frac{2}{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x + 2)^(2/3) - (x - 2)^(2/3).
$$2^{\frac{2}{3}} - \left(-2\right)^{\frac{2}{3}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 2^{\frac{2}{3}} - \left(-2\right)^{\frac{2}{3}}$$
Точка:
(0, 2^(2/3) - (-2)^(2/3))
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x + 2}} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x - 2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{9} \left(- \frac{2}{\left(x + 2\right)^{\frac{4}{3}}} + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{\frac{4}{3}}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \left(x - 2\right)^{\frac{2}{3}} + \left(x + 2\right)^{\frac{2}{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \left(x - 2\right)^{\frac{2}{3}} + \left(x + 2\right)^{\frac{2}{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 2)^(2/3) - (x - 2)^(2/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \left(x - 2\right)^{\frac{2}{3}} + \left(x + 2\right)^{\frac{2}{3}}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \left(x - 2\right)^{\frac{2}{3}} + \left(x + 2\right)^{\frac{2}{3}}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \left(x - 2\right)^{\frac{2}{3}} + \left(x + 2\right)^{\frac{2}{3}} = - \left(- x - 2\right)^{\frac{2}{3}} + \left(- x + 2\right)^{\frac{2}{3}}$$
- Нет
$$- \left(x - 2\right)^{\frac{2}{3}} + \left(x + 2\right)^{\frac{2}{3}} = - -1 \left(- x - 2\right)^{\frac{2}{3}} - \left(- x + 2\right)^{\frac{2}{3}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной