График функции y = 2*x+(1/2^x)

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
              -x
f(x) = 2*x + 2  
$$f{\left (x \right )} = 2 x + \left(\frac{1}{2}\right)^{x}$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
[TeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 x + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = \frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{1}{2} \log{\left (2 \right )},-1 \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -1$$
Точки пересечения с осью координат Y
[TeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*x + (1/2)^x.
$$0 \cdot 2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
[TeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 - 2^{- x} \log{\left (2 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1 + \frac{\log{\left (\log{\left (2 \right )} \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
Зн. экстремумы в точках:
                             log(log(2))                 
                         1 - -----------                 
      log(log(2))               log(2)     2*log(log(2)) 
(-1 + -----------, -2 + 2                + -------------)
         log(2)                                log(2)    


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1 + \frac{\log{\left (\log{\left (2 \right )} \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[-1 + log(log(2))/log(2), oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -1 + log(log(2))/log(2)]
Точки перегибов
[TeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2^{- x} \log^{2}{\left (2 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
[TeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x + \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x + \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[TeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x + (1/2)^x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x + \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right)\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 x + \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right)\right) = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = 2 x$$
Чётность и нечётность функции
[TeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 x + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{- x} - 2 x$$
- Нет
$$2 x + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} = - 2^{x} - - 2 x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной