График функции y = x*sqrt(4-x)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
           _______
f(x) = x*\/ 4 - x 
$$f{\left (x \right )} = x \sqrt{- x + 4}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \sqrt{- x + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Численное решение
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*sqrt(4 - x).
$$0 \sqrt{- 0 + 4}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{x}{2 \sqrt{- x + 4}} + \sqrt{- x + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{8}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
           ___ 
      16*\/ 3  
(8/3, --------)
         9     


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{8}{3}$$
Убывает на промежутках
(-oo, 8/3]

Возрастает на промежутках
[8/3, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{\frac{x}{- 4 x + 16} + 1}{\sqrt{- x + 4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{16}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{- x + 4}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{- x + 4}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \infty i$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sqrt(4 - x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{- x + 4} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{- x + 4} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \infty i x$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \sqrt{- x + 4} = - x \sqrt{x + 4}$$
- Нет
$$x \sqrt{- x + 4} = - -1 x \sqrt{x + 4}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной