График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: $$\sqrt{x} \left(x - 12\right) = 0$$ Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение $$x_{1} = 0$$ $$x_{2} = 12$$ Численное решение $$x_{1} = 0$$ $$x_{2} = 12$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (x - 12)*sqrt(x). $$- 0$$ Результат: $$f{\left (0 \right )} = 0$$ Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$ (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$ Первая производная $$\sqrt{x} + \frac{x - 12}{2 \sqrt{x}} = 0$$ Решаем это уравнение Корни этого ур-ния $$x_{1} = 4$$ Зн. экстремумы в точках:
(4, -16)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: $$x_{1} = 4$$ Максимумов у функции нет Убывает на промежутках
[4, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, 4]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$ (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$ Вторая производная $$\frac{1}{\sqrt{x}} \left(1 - \frac{x - 12}{4 x}\right) = 0$$ Решаем это уравнение Корни этого ур-ния $$x_{1} = -4$$
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Не имеет изгибов на всей числовой оси
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} \left(x - 12\right)\right) = - \infty i$$ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: $$y = - \infty i$$ $$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} \left(x - 12\right)\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 12)*sqrt(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{x}} \left(x - 12\right)\right) = \infty i$$ Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты слева: $$y = \infty i x$$ $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{x}} \left(x - 12\right)\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: $$\sqrt{x} \left(x - 12\right) = \sqrt{- x} \left(- x - 12\right)$$ - Нет $$\sqrt{x} \left(x - 12\right) = - \sqrt{- x} \left(- x - 12\right)$$ - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной