График y = f(x) = x^5-8/x^4 (х в степени 5 минус 8 делить на х в степени 4) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = x^5-8/x^4

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        5   8 
f(x) = x  - --
             4
            x 
$$f{\left(x \right)} = x^{5} - \frac{8}{x^{4}}$$
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{5} - \frac{8}{x^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \sqrt[3]{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.25992104989491$$
$$x_{2} = 1.25992104989487$$
$$x_{3} = 1.25992104989487$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^5 - 8/x^4.
$$0^{5} - \frac{8}{0^{4}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$5 x^{4} + \frac{32}{x^{5}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{5}{9}} \cdot 5^{\frac{8}{9}} \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{5} - \frac{2^{\frac{5}{9}} \cdot 5^{\frac{8}{9}} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{5}$$
Зн. экстремумы в точках:
                                                                                       5                                                
    5/9  8/9    2/pi\    5/9  8/9    2/pi\  /   5/9  8/9    2/pi\    5/9  8/9    2/pi\\                                                 
   2   *5   *cos |--|   2   *5   *sin |--|  |  2   *5   *cos |--|   2   *5   *sin |--||                                                 
                 \9 /                 \9 /  |                \9 /                 \9 /|                         8                       
(- ------------------ - ------------------, |- ------------------ - ------------------|  - --------------------------------------------)
           5                    5           \          5                    5         /                                               4 
                                                                                           /   5/9  8/9    2/pi\    5/9  8/9    2/pi\\  
                                                                                           |  2   *5   *cos |--|   2   *5   *sin |--||  
                                                                                           |                \9 /                 \9 /|  
                                                                                           |- ------------------ - ------------------|  
                                                                                           \          5                    5         /  


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{5}{9}} \cdot 5^{\frac{8}{9}} \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{5} - \frac{2^{\frac{5}{9}} \cdot 5^{\frac{8}{9}} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{5}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2^{\frac{5}{9}} \cdot 5^{\frac{8}{9}} \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{5} - \frac{2^{\frac{5}{9}} \cdot 5^{\frac{8}{9}} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{5}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{2^{\frac{5}{9}} \cdot 5^{\frac{8}{9}} \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{5} - \frac{2^{\frac{5}{9}} \cdot 5^{\frac{8}{9}} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{5}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$20 \left(x^{3} - \frac{8}{x^{6}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \sqrt[3]{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(20 \left(x^{3} - \frac{8}{x^{6}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(20 \left(x^{3} - \frac{8}{x^{6}}\right)\right) = -\infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \sqrt[3]{2}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{5} - \frac{8}{x^{4}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} - \frac{8}{x^{4}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^5 - 8/x^4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{5} - \frac{8}{x^{4}}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5} - \frac{8}{x^{4}}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{5} - \frac{8}{x^{4}} = - x^{5} - \frac{8}{x^{4}}$$
- Нет
$$x^{5} - \frac{8}{x^{4}} = x^{5} + \frac{8}{x^{4}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = x^5-8/x^4 /media/krcore-image-pods/6/5a/838c3045d43180f13eba7db728819.png
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: