График функции y = x^3/3-3*x^2+8*x-2

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        3                 
       x       2          
f(x) = -- - 3*x  + 8*x - 2
       3                  
$$f{\left (x \right )} = 8 x + \frac{x^{3}}{3} - 3 x^{2} - 2$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$8 x + \frac{x^{3}}{3} - 3 x^{2} - 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3} \sqrt[3]{27 \sqrt{35} + 162} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{35} + 162}} + 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.278107715763$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3/3 - 3*x^2 + 8*x - 2.
$$-2 + \frac{0^{3}}{3} - 0 + 0 \cdot 8$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -2$$
Точка:
(0, -2)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$x^{2} - 6 x + 8 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:
(2, 14/3)

(4, 10/3)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2$$
Убывает на промежутках
(-oo, 2] U [4, oo)

Возрастает на промежутках
[2, 4]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(x - 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 3$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[3, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 3]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(8 x + \frac{x^{3}}{3} - 3 x^{2} - 2\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(8 x + \frac{x^{3}}{3} - 3 x^{2} - 2\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/3 - 3*x^2 + 8*x - 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(8 x + \frac{x^{3}}{3} - 3 x^{2} - 2\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(8 x + \frac{x^{3}}{3} - 3 x^{2} - 2\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$8 x + \frac{x^{3}}{3} - 3 x^{2} - 2 = - \frac{x^{3}}{3} - 3 x^{2} - 8 x - 2$$
- Нет
$$8 x + \frac{x^{3}}{3} - 3 x^{2} - 2 = - \frac{-1 x^{3}}{3} - - 3 x^{2} - - 8 x + 2$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной