График функции y = 2*sin(x)*cos(x)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
f(x) = 2*sin(x)*cos(x)
$$f{\left (x \right )} = 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -95.8185759345$$
$$x_{2} = 78.5398163397$$
$$x_{3} = 73.8274273594$$
$$x_{4} = 36.1283155163$$
$$x_{5} = 56.5486677646$$
$$x_{6} = 23.5619449019$$
$$x_{7} = 51.8362787842$$
$$x_{8} = 14.1371669412$$
$$x_{9} = -51.8362787842$$
$$x_{10} = 12.5663706144$$
$$x_{11} = -97.3893722613$$
$$x_{12} = -7.85398163397$$
$$x_{13} = 89.5353906273$$
$$x_{14} = -23.5619449019$$
$$x_{15} = -119.380520836$$
$$x_{16} = 48.6946861306$$
$$x_{17} = 29.8451302091$$
$$x_{18} = 43.9822971503$$
$$x_{19} = 45.5530934771$$
$$x_{20} = 113.097335529$$
$$x_{21} = 92.6769832809$$
$$x_{22} = -483.805268653$$
$$x_{23} = -80.1106126665$$
$$x_{24} = -58.1194640914$$
$$x_{25} = 87.9645943005$$
$$x_{26} = 64.4026493986$$
$$x_{27} = 26.7035375555$$
$$x_{28} = -83.2522053201$$
$$x_{29} = 42.4115008235$$
$$x_{30} = 59.6902604182$$
$$x_{31} = -67.5442420522$$
$$x_{32} = -86.3937979737$$
$$x_{33} = -21.9911485751$$
$$x_{34} = -37.6991118431$$
$$x_{35} = 31.4159265359$$
$$x_{36} = 21.9911485751$$
$$x_{37} = -1.57079632679$$
$$x_{38} = -29.8451302091$$
$$x_{39} = 0$$
$$x_{40} = -14.1371669412$$
$$x_{41} = -94.2477796077$$
$$x_{42} = 67.5442420522$$
$$x_{43} = 86.3937979737$$
$$x_{44} = -17.2787595947$$
$$x_{45} = 15.7079632679$$
$$x_{46} = 50.2654824574$$
$$x_{47} = -53.407075111$$
$$x_{48} = -59.6902604182$$
$$x_{49} = 28.2743338823$$
$$x_{50} = -43.9822971503$$
$$x_{51} = -48.6946861306$$
$$x_{52} = -81.6814089933$$
$$x_{53} = 72.2566310326$$
$$x_{54} = 4.71238898038$$
$$x_{55} = -6.28318530718$$
$$x_{56} = 7.85398163397$$
$$x_{57} = -39.2699081699$$
$$x_{58} = -72.2566310326$$
$$x_{59} = -73.8274273594$$
$$x_{60} = -45.5530934771$$
$$x_{61} = 80.1106126665$$
$$x_{62} = 590.619418875$$
$$x_{63} = -61.261056745$$
$$x_{64} = 94.2477796077$$
$$x_{65} = 20.4203522483$$
$$x_{66} = -15.7079632679$$
$$x_{67} = -65.9734457254$$
$$x_{68} = 81.6814089933$$
$$x_{69} = 65.9734457254$$
$$x_{70} = 100.530964915$$
$$x_{71} = -89.5353906273$$
$$x_{72} = -42.4115008235$$
$$x_{73} = 58.1194640914$$
$$x_{74} = 95.8185759345$$
$$x_{75} = -36.1283155163$$
$$x_{76} = -31.4159265359$$
$$x_{77} = -75.3982236862$$
$$x_{78} = -9.42477796077$$
$$x_{79} = 6.28318530718$$
$$x_{80} = -87.9645943005$$
$$x_{81} = -50.2654824574$$
$$x_{82} = -64.4026493986$$
$$x_{83} = -20.4203522483$$
$$x_{84} = 34.5575191895$$
$$x_{85} = 37.6991118431$$
$$x_{86} = 70.6858347058$$
$$x_{87} = -40.8407044967$$
$$x_{88} = 1.57079632679$$
$$x_{89} = -28.2743338823$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (2*sin(x))*cos(x).
$$2 \sin{\left (0 \right )} \cos{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 2 \sin^{2}{\left (x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
 -3*pi    
(-----, 1)
   4      

 -pi      
(----, -1)
  4       

 pi    
(--, 1)
 4     

 3*pi     
(----, -1)
  4       


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
[3*pi/4, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -pi/4] U [pi/4, 3*pi/4]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 8 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[3*pi/2, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, pi/2] U [pi, 3*pi/2]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -2, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -2, 2\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -2, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -2, 2\rangle$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*sin(x))*cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{x} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{x} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} = - 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$$
- Нет
$$2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} = - -1 \cdot 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной