График функции y = sin(x)+cos(x)^(2)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
                   2   
f(x) = sin(x) + cos (x)
$$f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}} \right )}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = 74.7319842537$$
$$x_{2} = -88.630833733$$
$$x_{3} = 54.0733145435$$
$$x_{4} = 22.6573880076$$
$$x_{5} = 87.298354868$$
$$x_{6} = -94.9140190402$$
$$x_{7} = 16.3742027004$$
$$x_{8} = 99.8647254824$$
$$x_{9} = -15.0417238355$$
$$x_{10} = 5.61694587469$$
$$x_{11} = -71.5903916001$$
$$x_{12} = 60.3564998507$$
$$x_{13} = 18.183316489$$
$$x_{14} = -52.7408356785$$
$$x_{15} = -59.0240209857$$
$$x_{16} = 93.5815401752$$
$$x_{17} = -8.75853852828$$
$$x_{18} = -69.7812778115$$
$$x_{19} = 11.9001311819$$
$$x_{20} = 68.4487989465$$
$$x_{21} = -76.0644631186$$
$$x_{22} = -90.4399475216$$
$$x_{23} = -57.2149071971$$
$$x_{24} = 55.8824283321$$
$$x_{25} = 66.6396851579$$
$$x_{26} = 72.9228704651$$
$$x_{27} = -38.3653512756$$
$$x_{28} = 62.1656136393$$
$$x_{29} = 98.0556116938$$
$$x_{30} = -2.4753532211$$
$$x_{31} = 81.0151695608$$
$$x_{32} = -19.515795354$$
$$x_{33} = 3.80783208608$$
$$x_{34} = 30.7496871034$$
$$x_{35} = -13.2326100469$$
$$x_{36} = -65.3072062929$$
$$x_{37} = 24.4665017962$$
$$x_{38} = -27.6080944498$$
$$x_{39} = -1917.03775812$$
$$x_{40} = -44.6485365827$$
$$x_{41} = 47.7901292363$$
$$x_{42} = -0.666239432493$$
$$x_{43} = -82.3476484258$$
$$x_{44} = -40.1744650642$$
$$x_{45} = -32.0821659684$$
$$x_{46} = -21.3249091426$$
$$x_{47} = -25.7989806612$$
$$x_{48} = 28.9405733148$$
$$x_{49} = -84.1567622144$$
$$x_{50} = 41.5069439292$$
$$x_{51} = 49.5992430249$$
$$x_{52} = 13405.8420923$$
$$x_{53} = -46.4576503714$$
$$x_{54} = -77.8735769073$$
$$x_{55} = 43.3160577178$$
$$x_{56} = -33.891279757$$
$$x_{57} = -63.4980925043$$
$$x_{58} = 85.4892410794$$
$$x_{59} = 10.0910173933$$
$$x_{60} = 91.7724263866$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x) + cos(x)^2.
$$\sin{\left (0 \right )} + \cos^{2}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
Зн. экстремумы в точках:
 -pi      
(----, -1)
  2       

 pi      
(--, 5/4)
 6       

 pi    
(--, 1)
 2     

       /      ___\     2/      /      ___\\      /      /      ___\\ 
(2*atan\2 + \/ 3 /, cos \2*atan\2 + \/ 3 // + sin\2*atan\2 + \/ 3 //)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
Убывает на промежутках
[-pi/2, pi/6] U [pi/2, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -pi/2]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} - 2 \cos^{2}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{- \sqrt{33} + 9} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right )}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{\sqrt{33} + 9} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right )}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{- \sqrt{33} + 9} \right )}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{\sqrt{33} + 9} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right )}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-2*atan(1/4 + sqrt(2)*sqrt(sqrt(33) + 9)/4 + sqrt(33)/4), -2*atan(-sqrt(2)*sqrt(sqrt(33) + 9)/4 + 1/4 + sqrt(33)/4)] U [-2*atan(-sqrt(33)/4 + 1/4 + sqrt(2)*sqrt(-sqrt(33) + 9)/4), oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -2*atan(1/4 + sqrt(2)*sqrt(sqrt(33) + 9)/4 + sqrt(33)/4)]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 2\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 2\rangle$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x) + cos(x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}$$
- Нет
$$\sin{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} = - -1 \sin{\left (x \right )} - \cos^{2}{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной