График y = f(x) = sqrt(4-y^2) (квадратный корень из (4 минус у в квадрате)) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = sqrt(4-y^2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          ________
         /      2 
f(y) = \/  4 - y  
$$f{\left(y \right)} = \sqrt{4 - y^{2}}$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось Y при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{4 - y^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью Y:

Аналитическое решение
$$y_{1} = -2$$
$$y_{2} = 2$$
Численное решение
$$y_{1} = 2$$
$$y_{2} = -2$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда y равняется 0:
подставляем y = 0 в sqrt(4 - y^2).
$$\sqrt{4 - 0^{2}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 2$$
Точка:
(0, 2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{y}{\sqrt{4 - y^{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$y_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 2)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$y_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\frac{y^{2}}{4 - y^{2}} + 1}{\sqrt{4 - y^{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при y->+oo и y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty} \sqrt{4 - y^{2}} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{y \to \infty} \sqrt{4 - y^{2}} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(4 - y^2), делённой на y при y->+oo и y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{4 - y^{2}}}{y}\right) = - i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - i y$$
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{\sqrt{4 - y^{2}}}{y}\right) = i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = i y$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-y) и f = -f(-y).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{4 - y^{2}} = \sqrt{4 - y^{2}}$$
- Да
$$\sqrt{4 - y^{2}} = - \sqrt{4 - y^{2}}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = sqrt(4-y^2) /media/krcore-image-pods/6/2b/1dc35d9618902a87dbd26b48d7c12.png
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: