График функции y = 2*sqrt(x)+3*sin(x)

Вы ввели

           ___           
f(x) = 2*\/ x  + 3*sin(x)

$$f{\left (x \right )} = 2 \sqrt{x} + 3 \sin{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2 \sqrt{x} + 3 \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2*sqrt(x) + 3*sin(x).
$$2 \sqrt{0} + 3 \sin{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 17.1982950066$$
$$x_{2} = 86.3579205846$$
$$x_{3} = 70.7254811798$$
$$x_{4} = 92.6423446413$$
$$x_{5} = 39.3230895575$$
$$x_{6} = 29.7840138421$$
$$x_{7} = 20.4940506477$$
$$x_{8} = 98.926648633$$
$$x_{9} = 1.82043474342$$
$$x_{10} = 80.0733533206$$
$$x_{11} = 7.97231318783$$
$$x_{12} = 36.0727875078$$
$$x_{13} = 48.6468763525$$
$$x_{14} = 83.2887380574$$
$$x_{15} = 89.570618449$$
$$x_{16} = 4.55557360833$$
$$x_{17} = 33.0447419971$$
$$x_{18} = 77.0070142822$$
$$x_{19} = 51.882572616$$
$$x_{20} = 14.2256600615$$
$$x_{21} = 54.9328821553$$
$$x_{22} = 42.3602631428$$
$$x_{23} = 64.4441841635$$
$$x_{24} = 73.7886129371$$
$$x_{25} = 67.5036599726$$
$$x_{26} = 26.7680096257$$
$$x_{27} = 58.1631853872$$
$$x_{28} = 45.602474611$$
$$x_{29} = 23.4931190914$$
$$x_{30} = 10.8944121862$$
$$x_{31} = 95.8526293494$$
$$x_{32} = 61.2184410993$$
Зн. экстремумы в точках:

(17.1982950066, 5.30387200680186)

(86.3579205846, 15.5877230596322)

(70.7254811798, 19.8173311479802)

(92.6423446413, 16.2519782362885)

(39.3230895575, 15.5373836332993)

(29.7840138421, 7.92054749249159)

(20.4940506477, 12.0459275564975)

(98.926648633, 16.8940605096077)

(1.82043474342, 5.60547519325218)

(80.0733533206, 14.8988252388721)

(7.97231318783, 8.62607796097676)

(36.0727875078, 9.01674897684493)

(48.6468763525, 10.9528905584279)

(83.2887380574, 21.2505310233567)

(89.570618449, 21.926489751928)

(4.55557360833, 1.30556901299109)

(33.0447419971, 14.4918633232017)

(77.0070142822, 20.5485630219524)

(51.882572616, 17.4026975456639)

(14.2256600615, 10.5316449874844)

(54.9328821553, 11.8263795843941)

(42.3602631428, 10.0208895954954)

(64.4441841635, 19.0528396825697)

(73.7886129371, 14.1823192685413)

(67.5036599726, 13.4345922155511)

(26.7680096257, 13.341329147025)

(58.1631853872, 18.2500915815061)

(45.602474611, 16.5022638648356)

(23.4931190914, 6.7010428716966)

(10.8944121862, 3.61667446005708)

(95.8526293494, 22.5791319268913)

(61.2184410993, 12.6511666021611)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{32} = 17.1982950066$$
$$x_{32} = 86.3579205846$$
$$x_{32} = 92.6423446413$$
$$x_{32} = 29.7840138421$$
$$x_{32} = 98.926648633$$
$$x_{32} = 80.0733533206$$
$$x_{32} = 36.0727875078$$
$$x_{32} = 48.6468763525$$
$$x_{32} = 4.55557360833$$
$$x_{32} = 54.9328821553$$
$$x_{32} = 42.3602631428$$
$$x_{32} = 73.7886129371$$
$$x_{32} = 67.5036599726$$
$$x_{32} = 23.4931190914$$
$$x_{32} = 10.8944121862$$
$$x_{32} = 61.2184410993$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{32} = 70.7254811798$$
$$x_{32} = 39.3230895575$$
$$x_{32} = 20.4940506477$$
$$x_{32} = 1.82043474342$$
$$x_{32} = 7.97231318783$$
$$x_{32} = 83.2887380574$$
$$x_{32} = 89.570618449$$
$$x_{32} = 33.0447419971$$
$$x_{32} = 77.0070142822$$
$$x_{32} = 51.882572616$$
$$x_{32} = 14.2256600615$$
$$x_{32} = 64.4441841635$$
$$x_{32} = 26.7680096257$$
$$x_{32} = 58.1631853872$$
$$x_{32} = 45.602474611$$
$$x_{32} = 95.8526293494$$
Убывает на промежутках

[98.926648633, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 4.55557360833]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 3 \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 28.2754423798$$
$$x_{2} = 59.6906218194$$
$$x_{3} = 25.1314183398$$
$$x_{4} = 69.1147483158$$
$$x_{5} = 84.8232149891$$
$$x_{6} = 75.3979691149$$
$$x_{7} = 53.4075021282$$
$$x_{8} = 6.27257597613$$
$$x_{9} = 91.1063786115$$
$$x_{10} = 97.3895456737$$
$$x_{11} = 9.43053298014$$
$$x_{12} = 94.2475974518$$
$$x_{13} = 65.973756748$$
$$x_{14} = 3.1711111763$$
$$x_{15} = 43.9817257501$$
$$x_{16} = 81.6811832236$$
$$x_{17} = 50.2650147761$$
$$x_{18} = 18.8475190307$$
$$x_{19} = 100.530799566$$
$$x_{20} = 40.8413430523$$
$$x_{21} = 87.9643922833$$
$$x_{22} = 72.2569023825$$
$$x_{23} = 31.4149799857$$
$$x_{24} = 62.8315184283$$
$$x_{25} = 15.7106397138$$
$$x_{26} = 47.1244050087$$
$$x_{27} = 12.562627535$$
$$x_{28} = 78.5400557881$$
$$x_{29} = 21.9927645299$$
$$x_{30} = 56.5482758245$$
$$x_{31} = 37.6983917899$$
$$x_{32} = 34.5583395779$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[97.3895456737, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 3.1711111763]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sqrt{x} + 3 \sin{\left (x \right )}\right) = \langle -3, 3\rangle + \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -3, 3\rangle + \infty i$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \sqrt{x} + 3 \sin{\left (x \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*sqrt(x) + 3*sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 \sqrt{x} + 3 \sin{\left (x \right )}\right)\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(2 \sqrt{x} + 3 \sin{\left (x \right )}\right)\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2 \sqrt{x} + 3 \sin{\left (x \right )} = 2 \sqrt{- x} - 3 \sin{\left (x \right )}$$
- Нет
$$2 \sqrt{x} + 3 \sin{\left (x \right )} = - 2 \sqrt{- x} - - 3 \sin{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной