График функции y = (|x-2/x|)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
       |    2|
f(x) = |x - -|
       |    x|
$$f{\left (x \right )} = \left|{x - \frac{2}{x}}\right|$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{x - \frac{2}{x}}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.41421356237$$
$$x_{2} = -1.41421356237$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |x - 2/x|.
$$\left|{- \tilde{\infty}}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \left|{\tilde{\infty}}\right|$$
Точка:
(0, |±oo|)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(1 + \frac{2}{x^{2}}\right) \operatorname{sign}{\left (x - \frac{2}{x} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{x - \frac{2}{x}}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \left|{x - \frac{2}{x}}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |x - 2/x|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left|{x - \frac{2}{x}}\right|\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left|{x - \frac{2}{x}}\right|\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{x - \frac{2}{x}}\right| = \left|{x - \frac{2}{x}}\right|$$
- Нет
$$\left|{x - \frac{2}{x}}\right| = - \left|{x - \frac{2}{x}}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной