График функции y = (x^2+4*x-21)/(x^2+3*x-4)

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        2           
       x  + 4*x - 21
f(x) = -------------
         2          
        x  + 3*x - 4
$$f{\left (x \right )} = \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{2} + 3 x - 4}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{2} + 3 x - 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 3$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 + 4*x - 21)/(x^2 + 3*x - 4).
$$\frac{-21 + 0^{2} + 0 \cdot 4}{-4 + 0^{2} + 0 \cdot 3}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{21}{4}$$
Точка:
(0, 21/4)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\left(- 2 x - 3\right) \left(x^{2} + 4 x - 21\right)}{\left(x^{2} + 3 x - 4\right)^{2}} + \frac{2 x + 4}{x^{2} + 3 x - 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 17 + 4 \sqrt{21}$$
$$x_{2} = - 4 \sqrt{21} + 17$$
Зн. экстремумы в точках:
                                    2             
                     /         ____\         ____ 
          ____  47 + \17 + 4*\/ 21 /  + 16*\/ 21  
(17 + 4*\/ 21, ---------------------------------)
                                    2             
                     /         ____\         ____ 
                47 + \17 + 4*\/ 21 /  + 12*\/ 21  

                                    2             
                     /         ____\         ____ 
          ____  47 + \17 - 4*\/ 21 /  - 16*\/ 21  
(17 - 4*\/ 21, ---------------------------------)
                                    2             
                     /         ____\         ____ 
                47 + \17 - 4*\/ 21 /  - 12*\/ 21  


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - 4 \sqrt{21} + 17$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[-4*sqrt(21) + 17, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -4*sqrt(21) + 17]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{2} + 3 x - 4} \left(- \frac{4 \left(x + 2\right) \left(2 x + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4} + \frac{2 \left(2 x + 3\right)^{2} \left(x^{2} + 4 x - 21\right)}{\left(x^{2} + 3 x - 4\right)^{2}} + 2 - \frac{2 x^{2} + 8 x - 42}{x^{2} + 3 x - 4}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 17 + 4 \sqrt[3]{84} + 2 \sqrt[3]{882}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 1$$

$$\lim_{x \to -4^-}\left(\frac{1}{x^{2} + 3 x - 4} \left(- \frac{4 \left(x + 2\right) \left(2 x + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4} + \frac{2 \left(2 x + 3\right)^{2} \left(x^{2} + 4 x - 21\right)}{\left(x^{2} + 3 x - 4\right)^{2}} + 2 - \frac{2 x^{2} + 8 x - 42}{x^{2} + 3 x - 4}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -4^+}\left(\frac{1}{x^{2} + 3 x - 4} \left(- \frac{4 \left(x + 2\right) \left(2 x + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4} + \frac{2 \left(2 x + 3\right)^{2} \left(x^{2} + 4 x - 21\right)}{\left(x^{2} + 3 x - 4\right)^{2}} + 2 - \frac{2 x^{2} + 8 x - 42}{x^{2} + 3 x - 4}\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -4$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1}{x^{2} + 3 x - 4} \left(- \frac{4 \left(x + 2\right) \left(2 x + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4} + \frac{2 \left(2 x + 3\right)^{2} \left(x^{2} + 4 x - 21\right)}{\left(x^{2} + 3 x - 4\right)^{2}} + 2 - \frac{2 x^{2} + 8 x - 42}{x^{2} + 3 x - 4}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1}{x^{2} + 3 x - 4} \left(- \frac{4 \left(x + 2\right) \left(2 x + 3\right)}{x^{2} + 3 x - 4} + \frac{2 \left(2 x + 3\right)^{2} \left(x^{2} + 4 x - 21\right)}{\left(x^{2} + 3 x - 4\right)^{2}} + 2 - \frac{2 x^{2} + 8 x - 42}{x^{2} + 3 x - 4}\right)\right) = -\infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 1$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[17 + 4*84**(1/3) + 2*882**(1/3), oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 17 + 4*84**(1/3) + 2*882**(1/3)]
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{2} + 3 x - 4}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{2} + 3 x - 4}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + 4*x - 21)/(x^2 + 3*x - 4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 4 x - 21}{x \left(x^{2} + 3 x - 4\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 4 x - 21}{x \left(x^{2} + 3 x - 4\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{2} + 3 x - 4} = \frac{x^{2} - 4 x - 21}{x^{2} - 3 x - 4}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{2} + 3 x - 4} = - \frac{x^{2} - 4 x - 21}{x^{2} - 3 x - 4}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной