График функции y = x*(x-1)/(1+x)^2

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
       x*(x - 1)
f(x) = ---------
               2
        (1 + x) 
$$f{\left (x \right )} = \frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x*(x - 1))/(1 + x)^2.
$$\frac{0}{1^{2}} 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{x}{\left(x + 1\right)^{4}} \left(- 2 x - 2\right) \left(x - 1\right) + \frac{2 x - 1}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
(1/3, -1/8)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[1/3, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 1/3]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(\frac{6 x \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2 x}{x + 1} - \frac{2 x - 2}{x + 1} + 2 - \frac{4 x - 2}{x + 1}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$

$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(\frac{6 x \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2 x}{x + 1} - \frac{2 x - 2}{x + 1} + 2 - \frac{4 x - 2}{x + 1}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(\frac{6 x \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2 x}{x + 1} - \frac{2 x - 2}{x + 1} + 2 - \frac{4 x - 2}{x + 1}\right)\right) = \infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 1]

Выпуклая на промежутках
[1, oo)
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = -1$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x*(x - 1))/(1 + x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = - \frac{x \left(- x - 1\right)}{\left(- x + 1\right)^{2}}$$
- Нет
$$\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = - \frac{-1 x \left(- x - 1\right)}{\left(- x + 1\right)^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной