График y = f(x) = x^8-3*x^4-x+5 (х в степени 8 минус 3 умножить на х в степени 4 минус х плюс 5) постройте график функции и изобразите его. Исследуйте данную функцию. [Есть ОТВЕТ!]

График функции y = x^8-3*x^4-x+5

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Функция f() ?

Примеры

График:

от до

Точки пересечения:

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

Решение

Вы ввели [src]
        8      4        
f(x) = x  - 3*x  - x + 5
$$f{\left (x \right )} = - x + x^{8} - 3 x^{4} + 5$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x + x^{8} - 3 x^{4} + 5 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^8 - 3*x^4 - x + 5.
$$0^{8} - 0 - 0 + 5$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 5$$
Точка:
(0, 5)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$8 x^{7} - 12 x^{3} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1.08834664367413$$
$$x_{2} = -0.440507501658958$$
$$x_{3} = 1.12262954879981$$
Зн. экстремумы в точках:
(-1.08834664367413, 3.8477485641239)

(-0.440507501658958, 5.32896278870957)

(1.12262954879981, 1.63517595988469)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = -1.08834664367413$$
$$x_{3} = 1.12262954879981$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = -0.440507501658958$$
Убывает на промежутках
[-1.08834664367413, -0.440507501658958] U [1.12262954879981, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -1.08834664367413] U [-0.440507501658958, 1.12262954879981]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$4 x^{2} \left(14 x^{4} - 9\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{14^{\frac{3}{4}} \sqrt{3}}{14}$$
$$x_{3} = \frac{14^{\frac{3}{4}} \sqrt{3}}{14}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -14**(3/4)*sqrt(3)/14] U [14**(3/4)*sqrt(3)/14, oo)

Выпуклая на промежутках
[-14**(3/4)*sqrt(3)/14, 14**(3/4)*sqrt(3)/14]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + x^{8} - 3 x^{4} + 5\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + x^{8} - 3 x^{4} + 5\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^8 - 3*x^4 - x + 5, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + x^{8} - 3 x^{4} + 5\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + x^{8} - 3 x^{4} + 5\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x + x^{8} - 3 x^{4} + 5 = x^{8} - 3 x^{4} + x + 5$$
- Нет
$$- x + x^{8} - 3 x^{4} + 5 = - x^{8} - - 3 x^{4} - x - 5$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
×

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите: