График функции y = 2+18*x^2-x^4

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
               2    4
f(x) = 2 + 18*x  - x 
$$f{\left (x \right )} = - x^{4} + 18 x^{2} + 2$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x^{4} + 18 x^{2} + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt{9 + \sqrt{83}}$$
$$x_{2} = \sqrt{9 + \sqrt{83}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 4.25563550826$$
$$x_{2} = -4.25563550826$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2 + 18*x^2 - x^4.
$$- 0 + 18 \cdot 0^{2} + 2$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 2$$
Точка:
(0, 2)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 4 x^{3} + 36 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:
(-3, 83)

(0, 2)

(3, 83)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = -3$$
$$x_{3} = 3$$
Убывает на промежутках
(-oo, -3] U [0, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 0] U [3, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$12 \left(- x^{2} + 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-sqrt(3), sqrt(3)]

Выпуклая на промежутках
(-oo, -sqrt(3)] U [sqrt(3), oo)
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{4} + 18 x^{2} + 2\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{4} + 18 x^{2} + 2\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2 + 18*x^2 - x^4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x^{4} + 18 x^{2} + 2\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x^{4} + 18 x^{2} + 2\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x^{4} + 18 x^{2} + 2 = - x^{4} + 18 x^{2} + 2$$
- Да
$$- x^{4} + 18 x^{2} + 2 = - -1 x^{4} + - 18 x^{2} - 2$$
- Нет
значит, функция
является
чётной