Точки, в которых функция точно неопределена: $$x_{1} = 11$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: $$\frac{1}{x - 11} \left(- x^{2} + 13 x - 22\right) = 0$$ Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение $$x_{1} = 2$$ Численное решение $$x_{1} = 2$$ $$x_{2} = 11$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в (-x^2 + 13*x - 22)/(x - 11). $$\frac{1}{-11} \left(-22 + - 0 + 0 \cdot 13\right)$$ Результат: $$f{\left (0 \right )} = 2$$ Точка:
(0, 2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$ (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$ Первая производная $$\frac{- 2 x + 13}{x - 11} - \frac{1}{\left(x - 11\right)^{2}} \left(- x^{2} + 13 x - 22\right) = 0$$ Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$ (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: $$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$ Вторая производная $$\frac{1}{x - 11} \left(-2 + \frac{4 x - 26}{x - 11} - \frac{1}{\left(x - 11\right)^{2}} \left(2 x^{2} - 26 x + 44\right)\right) = 0$$ Решаем это уравнение Решения не найдены, возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть: $$x_{1} = 11$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x - 11} \left(- x^{2} + 13 x - 22\right)\right) = \infty$$ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты слева не существует $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x - 11} \left(- x^{2} + 13 x - 22\right)\right) = -\infty$$ Возьмём предел значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (-x^2 + 13*x - 22)/(x - 11), делённой на x при x->+oo и x ->-oo $$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + 13 x - 22}{x \left(x - 11\right)}\right) = -1$$ Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты слева: $$y = - x$$ $$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 13 x - 22}{x \left(x - 11\right)}\right) = -1$$ Возьмём предел значит, уравнение наклонной асимптоты справа: $$y = - x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: $$\frac{1}{x - 11} \left(- x^{2} + 13 x - 22\right) = \frac{- x^{2} - 13 x - 22}{- x - 11}$$ - Нет $$\frac{1}{x - 11} \left(- x^{2} + 13 x - 22\right) = - \frac{- x^{2} - 13 x - 22}{- x - 11}$$ - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной