График функции y = (-x^2+13*x-22)/(x-11)
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
2
- x + 13*x - 22
f(x) = ----------------
x - 11
$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{x - 11} \left(- x^{2} + 13 x - 22\right)$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 11$$
$$x_{1} = 11$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{x - 11} \left(- x^{2} + 13 x - 22\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 11$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{x - 11} \left(- x^{2} + 13 x - 22\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 11$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (-x^2 + 13*x - 22)/(x - 11).
$$\frac{1}{-11} \left(-22 + - 0 + 0 \cdot 13\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 2$$
Точка:
подставляем x = 0 в (-x^2 + 13*x - 22)/(x - 11).
$$\frac{1}{-11} \left(-22 + - 0 + 0 \cdot 13\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 2$$
Точка:
(0, 2)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{- 2 x + 13}{x - 11} - \frac{1}{\left(x - 11\right)^{2}} \left(- x^{2} + 13 x - 22\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{- 2 x + 13}{x - 11} - \frac{1}{\left(x - 11\right)^{2}} \left(- x^{2} + 13 x - 22\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x - 11} \left(-2 + \frac{4 x - 26}{x - 11} - \frac{1}{\left(x - 11\right)^{2}} \left(2 x^{2} - 26 x + 44\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x - 11} \left(-2 + \frac{4 x - 26}{x - 11} - \frac{1}{\left(x - 11\right)^{2}} \left(2 x^{2} - 26 x + 44\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 11$$
$$x_{1} = 11$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x - 11} \left(- x^{2} + 13 x - 22\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x - 11} \left(- x^{2} + 13 x - 22\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x - 11} \left(- x^{2} + 13 x - 22\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x - 11} \left(- x^{2} + 13 x - 22\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (-x^2 + 13*x - 22)/(x - 11), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + 13 x - 22}{x \left(x - 11\right)}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 13 x - 22}{x \left(x - 11\right)}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + 13 x - 22}{x \left(x - 11\right)}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + 13 x - 22}{x \left(x - 11\right)}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - x$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{x - 11} \left(- x^{2} + 13 x - 22\right) = \frac{- x^{2} - 13 x - 22}{- x - 11}$$
- Нет
$$\frac{1}{x - 11} \left(- x^{2} + 13 x - 22\right) = - \frac{- x^{2} - 13 x - 22}{- x - 11}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{x - 11} \left(- x^{2} + 13 x - 22\right) = \frac{- x^{2} - 13 x - 22}{- x - 11}$$
- Нет
$$\frac{1}{x - 11} \left(- x^{2} + 13 x - 22\right) = - \frac{- x^{2} - 13 x - 22}{- x - 11}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной