График функции y = x^3-x^2+x-4

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        3    2        
f(x) = x  - x  + x - 4
$$f{\left (x \right )} = x + x^{3} - x^{2} - 4$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x + x^{3} - x^{2} - 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{2}{9 \sqrt[3]{\frac{101}{54} + \frac{\sqrt{1137}}{18}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{101}{54} + \frac{\sqrt{1137}}{18}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.74295920217$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 - x^2 + x - 4.
$$-4 + 0^{3} - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -4$$
Точка:
(0, -4)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(3 x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[1/3, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 1/3]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x + x^{3} - x^{2} - 4\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + x^{3} - x^{2} - 4\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - x^2 + x - 4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + x^{3} - x^{2} - 4\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + x^{3} - x^{2} - 4\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x + x^{3} - x^{2} - 4 = - x^{3} - x^{2} - x - 4$$
- Нет
$$x + x^{3} - x^{2} - 4 = - -1 x^{3} - - x^{2} - - x + 4$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной